Wann benutzt man Sinus und wann Cosinus bei der Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren?
Bisher dachte ich, Cosinus bei zwei Vektoren und Sinus bei Vektor und Ebene, aber verschiedene Quellen im Internet sagen verschiedene Dinge.
Und außerdem: Warum werden bei der Sinusfunktion über dem Bruchstrich Betragsstriche gesetzt und bei der Cosinusfunktion nicht?
2 Antworten
Ein Vektor ist bei mir: <a> a ist der Betrag
Die Definitionen des Skalar- und des Kreuzprodukts werden als bekannt vorausgesetzt.
Die einfachere Variante ist <a> • <b> = a b cos φ (Skalarprodukt).
Das benutzt man ja auch ständig zur Darstellung eines rechten Winkels:
<a> • <b> = 0
Wenn man das Kreuzprodukt heranzieht, ändern sich die Verhältnisse ein wenig. Dabei gehe ich von der obigen Beziehung aus und quadriere sie.
(<a> × <b>)² = a² b² - a² b² cos² φ
= a² b² (1 - cos² φ) Sinus kommt wegen sin²=1-cos²
= a² b² sin² φ
Wenn ich daraus die Wurzel ziehe, habe ich ± dabei. Nehme ich den Betrag, habe ich kein Vorzeichen, daher
|(<a> × <b>)| = a b sin φ
(<a> × <b>)² = a² b² - (<a> • <b>)² so genannte Lagrange-Identität
(<a> × <b>)² = a² b² - a² b² cos² φ
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt
Lerne solche Dinge lieber nicht einfach irgendwie "auswendig", ohne zu verstehen, was geometrisch wirklich dahintersteckt. Weil für den Cosinus des von zwei Vektoren a und b eingeschlossenen Winkel alpha (mit 0°≤alpha≤180°) gilt: cos(alpha) = a*b/(|a|*|b|) , kann man via die Umkehrfunktion arccos daraus diesen Winkel berechnen.
Ist nun zum Beispiel der (spitze !) Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene gefragt, so kann man genau nach der beschriebenen Art zunächst einmal den Winkel zwischen einem Richtungsvektor der Geraden und einem Normalenvektor der Ebene berechnen. Aus diesem Winkel kann man dann den eigentlich gesuchten Winkel zwischen Gerade und Ebene ganz leicht berechnen. Guck dir dies (ihr habt es garantiert gezeigt bekommen !) mal in der Zeichnung genau an, um das Ganze zu begreifen und nicht einfach irgendwie unverdaut in deinen armen Schädel zu stopfen.
Der Sinn von Betragszeichen in diesem Zusammenhang könnte zum Beispiel der sein, dass man eben den spitzen Schnittwinkel haben möchte anstatt dessen stumpfen Ergänzungswinkel.