Wahrscheinlichkeit?
Hallo Zusammen,
ich habe 5 Würfel, die geworfen werden.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man 5 verschiedene Augen?
Mögliche Ergebnisse sind : 6⁵= 7776
Wie errechne ich die günstigen Ergebnisse?
Danke für eure Hilfe!
Hallo Zusammen,
ich habe noch eine Ergänzung zu meiner Frage.
Ist folgender Ansatz richtig?
Günstige Ergebnisse: 6×5×4×3×2--> für den ersten Würfel gibt es 6 mögliche Zahlen, für den 2. W. 5 mögliche Zahlen etc.
Setzt sich so das günstige Ergebnis zusammen?
Stimmt meine Überlegung?
Vielen Dank!
1 Antwort
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass alle fünf Würfel verschiedene Augenzahlen zeigen, gehen wir folgendermaßen vor:
1. Analyse der möglichen ErgebnisseDie Gesamtanzahl möglicher Würfe beträgt 65=77766^5 = 7776, da jeder der fünf Würfel sechs mögliche Ergebnisse (1 bis 6) hat.
2. Berechnung der günstigen ErgebnisseEin günstiges Ergebnis liegt vor, wenn alle fünf Würfel verschiedene Zahlen zeigen. Das bedeutet, dass wir für die fünf Würfel fünf unterschiedliche Zahlen aus den sechs möglichen Augenzahlen auswählen müssen. Dabei ist die Reihenfolge der Würfel relevant.
Schritt 1: Auswahl der 5 unterschiedlichen ZahlenEs gibt (65)=6\binom{6}{5} = 6 Möglichkeiten, fünf verschiedene Zahlen aus sechs auszuwählen.
Schritt 2: Anordnung der 5 ZahlenDa die Reihenfolge der Würfel zählt, können die fünf ausgewählten Zahlen in 5!=1205! = 120 verschiedenen Permutationen angeordnet werden.
Gesamtanzahl günstiger ErgebnisseDie Gesamtanzahl günstiger Ergebnisse ist daher:
6⋅120=7206 \cdot 120 = 7203. Berechnung der WahrscheinlichkeitDie Wahrscheinlichkeit PP, dass alle Würfel unterschiedliche Zahlen zeigen, ergibt sich aus:
P=Anzahl gu¨nstiger ErgebnisseAnzahl aller Ergebnisse=7207776P = \frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}} = \frac{720}{7776}Das ergibt:
P=7207776≈0.0926 oder 9.26%.P = \frac{720}{7776} \approx 0.0926 \text{ oder } 9.26\%.FazitDie Wahrscheinlichkeit, bei fünf Würfeln fünf verschiedene Augenzahlen zu würfeln, beträgt etwa 9.26%.
man sollte das Geschmiere von ChatGPT wenigstens editieren
ChatGPT - Antworten muss man kennzeichnen
ChatGPT Antworten sind zu 50% falsch. Kannst du für die Richtigkeit garantieren ?
Es gibt 6 verschiedene 5-elementige Teilmengen von {1,2,3,4,5,6}. Die Elemente jeder dieser Teilmengen kann auf 5*4*3*2=120 Weisen angeordnet werden (120 Permutationen). Somit gibt es 6*120 günstige Ereignisse.
Danke, aber warum muss ich 6×5×4×3×2 rechnen?
Sorry für die späte Antwort. Ah, jetzt sehe ich den möglichen Grund für die Verwirrung. Vergleiche meinen ersten Kommentar. Der Faktor 6 stammt davon, dass es 6 verschiedene Möglichkeiten gibt, 5 verschiedene aus 6 Zahlen auszuwählen. Die übrigen Faktoren 5*4*3*2 kommen daher, dass man 5 verschiedene Zahlen auf 5! verschiedene Arten anordnen kann (für die erste Zahl gibt es 5 "freie Plätze", für die zweite 4 freie Plätze etc.).
Hallo Clemens, ich habe noch eine Ergänzung hinzugefügt. Würdest du bitte prüfen, ob das so stimmt?
Das müsste deiner Erklärung entsprechen...
Vielen lieben Dank!
Ja, Deine Erklärung ist vollkommen richtig, man kann sich das auch so überlegen. In der Kombinatorik würde man sagen, es sei eine Kombination ohne Wiederholung (keine gleichen Zahlen, Reihenfolge spielt keine Rolle):
https://de.wikipedia.org/wiki/Kombination_(Kombinatorik)#Kombination_ohne_Wiederholung
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.
Ich verstehe nicht, warum ich 6×5×4×3×2 rechnen muss.