Wachstums und Zerfallsfunktion aufstellen?
Hey hey, bin im Unterricht leider nicht ganz mitgekommen und wollte mal fragen ob jemand weiß wie man das rechnet
Wenn ja könntest du bitte so nett sein und mir die erste vor rechnen und beschreiben wie du das gemacht hast damit ich die anderen alleine schaffe? 😅
Danke schonmal im voraus 🙇♂️
4 Antworten
https://de.serlo.org/mathe/2035/exponentielles-wachstum
Ich mache die Tabelle rechts oben.
N(t) = N0 * a^t
N0 ist immer der Wert bei t = 0. Dieser ist hier leider nicht gegeben.
N(t = 3) = 2000 = N0 * a^3
N(t = 4) = 1200 = N0 * a^4
Zwei Gleichungen hat man hier, also ein Gleichungssystem.
2000 = N0 * a^3
1200 = N0 * a^4
Die erste Gleichung nach NO auflösen ergibt:
N0 = 2000 / a^3
Das einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:
1200 = (2000 / a^3) * a^4
1200 = 2000 * a
a = 0,6
Jetzt muss noch das N0 bestimmt werden.
2000 = N0 * a^3
2000 = N0 * 0,6^3
NO = 9259
Damit heißt die Funktion:
N(t) = 9259 * 0,6^t
Die anderen Aufgaben sind aber einfacher.
Wenn a > 1, dann ist es eine Wachstumsfunktion und wenn a < 1, dann ist es eine Zerfallsfunktion.
N(t) = a * x^t
- N(t) stellt eine Funktion in Abhängigkeit von t (Zeit) dar.
- x ist der uns unbekannte Faktor.
- t (Zeit) ist der Exponent.
- a ist der Startwert, auch Schnittpunkt mit der Y-Achse.
Wenn t=0 ist, dann ist der Faktor 1. Denn x^0 ergibt immer 1.
Wenn t=1 ist, dann ist der Faktor x. Denn x^1 ergibt immer x.
Wenn t=2 ist, dann ist der Faktor x². Damit wird x = Quadratwurzel(x²).
Wenn t=3 ist, dann ist der Faktor x³. Damit wird x = Kubikwurzel(x³).
......................................
Kommen wir zur ersten Aufgabe:
N(0) = 50
a * x^t = 50
a * 1 = 50
a = 50
Als nächstes sehen wir den Wert t=1.
N(1) = 90
50 * x^1 = 90
50x = 90
x = 1,8
Damit können wir für die erste Tabelle die Funktion bereits aufstellen:
N(t) = 50 * 1,8^t
Die zwei anderen Aufgaben sind ähnlich, wobei der nur t=0 und t=2 angegeben ist. Erinnere dich, wie man x mit t=2, t=3, etc. ermitteln kann (oben erwähnt).
..................
Etwas schwieriger wird dann die Aufgabe mit den Werten t=3, t=4, ... Aber mit etwas Denkarbeit schaffst du das schon.
Viel Erfolg.
P.S.: Elumania war so "nett" die schwerste Aufgabe für dich zu übernehmen... ;-)
Zunächst merken wir uns mal die Formel für exponentielles Wachstum / Zerfall.
Jetzt prüfen wir, ob das q konstant ist. Wir gehen in die Tabelle 1 und rechnen:
90:50=1,8; 162/90 = 1,8; 291/162=1,796; 525/291=1,804
Wir sehen, alle Quotienten haben (in etwa) den gleichen Wert, also haben wir es mit exponentiellem Wachstum zu tun und unsere Gleichung lautet:
Was noch fehlt, ist B(0), der Anfangsbestand. Der steht aber in der Tabelle mit 50. Somit endgültig:
Also du hast ja eine Wertetabelle gegeben in der du Werte hast, mit dennen du rechnen kannst.
Um algemein eine Funktionsgleichung aufstellen zu können benötigst du die allgemeine Form der Funktion. Also den Aufbau des Funktionstermes ohne Zahlen. Für exponentielles Wachstum hast du die Form N(t)= a×b^x
Den Faktor a kann man ganz leicht aus der Wertetsbelle entnehmen, weil wenn du für t=0 einsetzt ist a= 50
Also
291=50×b^3 |÷50
5,82= b^3 | (3)Wurzel
b= 1.79876
Also ist der Funktionsterm
N(t)= 50×1.79876^t