Vollständige Induktion mit zwei Brüchen?
Moin Leute,
ich schreibe in einer Woche Analysis 1 Prüfung und schaue mir heute die vollständige Induktion an. Ich kann es nur mit einem Glied also ohne zweiten Bruch.
Hab auch schon im Internet gesucht aber nicht fündig geworden. Alle Beispiele sind jeweils mit einem Bruch. (Was ich auch kann) Mein Plan hört dort auf wo man das n+1 Glied zum Term aus der Aufgabe addiert und auf welchen Bruch man acht geben muss. Bild der Musterlösung anbei aber der Prof hat etwas ganz komisches gemacht.
Hoffe auf baldige Antworten meine Padawans ^^
MfG
Der Mathenoob
Dies ist der Rechenweg den ich bis jetzt gemacht habe.
2 Antworten
Hallo Meister Jedi,
die Summe wird einfach folgendermaßen umgeformt:
Danach wird einfach das eingesetzt, was für alle natürlichen n gelten soll.
Am Ende erhältst du weshalb du weißt, dass die gegebene Aussage für n + 1 gilt, wenn sie denn für n gilt (du hast die gegebene Aussage nämlich unter der Bedingung, dass sie für n gilt, eingesetzt).
Erklärt das deine Fragen?
Könntest du mir vielleicht ein Foto der Rechnung schicken?
Ich verstehe nicht, warum du in deiner Rechung + 3(n + 1) rechnest. Du musst du doch + 3^(n + 1) rechnen (siehe auch meine Antwort oben). Hier noch mal die Erklärung (da ich gerade am Handy bin, kann ich den Formeleditor von gutefrage.net nicht nutzen): https://www.matheretter.de/rechner/latex?tex=%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%20%2B%201%7Df(k)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7Df(k)%2Bf(n%2B1)%5Cnewline%0A%5Ctext%7Bdenn%3A%7D%0A%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%2B1%7Df(k)%3Df(0)%2Bf(1)%2B%5Ccdots%20%2Bf(n)%2Bf(n%2B1)%20%3D%5Bf(0)%2Bf(1)%2B%5Ccdots%2Bf(n)%5D%2Bf(n%2B1)%20%3D%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20f(k)%20%2B%20f(n%2B1)%5C%5C%0A%5Ctext%7Bdeshalb%3A%7D%0A%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%2B1%7D%203%5Ek%20%3D%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%203%5Ek%20%2B%203%5E%7Bn%2B1%7D
und hier kommt meine mathematische Unfähigkeit zum Einsatz haha
ich hab die n+1 nicht als hoch angesehen haha. Ich hab das schon korrigiert nun trifft mich die Frage was sind 3^n+1 + 2*3^n+1?
Gruß
Das sind ja einmal 3^(n+1) und noch zweimal 3^(n+1), also dreimal 3^(n+1) bzw. 3 * 3^(n + 1) = 3^(n + 2) (Potenzgesetz a^b * a^c = a^(b+c)). Allgemein gilt a * b + a * c = a * (b + c). Das nennt man Ausklammern. Oder andere Überlegung: Schreibe statt 3^(n+1) einfach x, dann sind 3^(n+1) + 2 * 3^(n + 1) = x + 2x = 3x = 3* 3^(n+1). (Das ist umständlicher und macht man gewöhnlich nicht, aber soll dir deutlich machen, dass du das einfach zusammenzählen kannst.)
Hall0!
Die vollständige Induktion lehnt sich an den Dominoeffekt. Fällt ein Stein, fallen alle hinterher. Das gilt hier auch: Gilt die Aussage für n=1, kannst du die Vermutung aufstellen, dass deine Aussage für ein festes n (hier 1) gilt. Dann überprüfst du n+1. Wenn hier das Erwartete erneut herauskommt, hast du die Aussage für alle n>=1 bewiesen.
Wo ist hier dein Problem genau?
Nicht ganz, ich bin zur Rechnung gekommen in vielen kleinen Teilschritten und bei mir sieht es folgend auf dem Tablet aus: 3^n+1/2 - 1/3 +3(n+1) hier hab ich den Term mit dem Summenzeichen gegen die Annahme getauscht. danach will ich die +3(n+1) auch unter den Bruchstrich bekommen indem ich mit 2 erweitere. Und an dieser Stelle weiß ich nicht was ich mit wem Zusammenrechnen soll. ob den erweiterten Term mit den -1/2 oder mit dem Term aus der Annahme und wenn mit dem Term aus der Annahme dann wie werden 3^n+1/2 mit 6n+1/2 verrechnet?
Sorry das kopiert aber habe gerade wenig Zeit :(
Gruß!
Nicht ganz, ich bin zur Rechnung gekommen in vielen kleinen Teilschritten und bei mir sieht es folgend auf dem Tablet aus: 3^n+1/2 - 1/3 +3(n+1) hier hab ich den Term mit dem Summenzeichen gegen die Annahme getauscht. danach will ich die +3(n+1) auch unter den Bruchstrich bekommen indem ich mit 2 erweitere. Und an dieser Stelle weiß ich nicht was ich mit wem Zusammenrechnen soll. ob den erweiterten Term mit den -1/2 oder mit dem Term aus der Annahme und wenn mit dem Term aus der Annahme dann wie werden 3^n+1/2 mit 6n+1/2 verrechnet?
Gruß