Versteht jemand diese Bewegungsaufgabe?

Zug 1 fährt mit einer Geschwindigkeit von 110km/h von Berlin ab in Richtung Budapest.

Nach insgesamt 20km, 100km, 180km, 220km, 240km, 300km, 380km, 470km, 510km und 650km

passiert er jeweils einen Bahnhof. Zug 2 fährt zwei Stunden später vom selben Bahnhof mit einer Geschwindigkeit von 220km/h los. Wie viele Bahnhöfe passiert Zug 1 bevor er von Zug 2 eingeholt wird?

Answer 1

[mihisu]

Ich würde zunächst einmal berechnen, nach welcher Zeit und welcher insgesamt zurückgelegten Wegstrecke sich die beiden Züge treffen. Dann würde ich nachzählen, wie viele Bahnhöfe entlang dieser zurückgelegten Wegstrecke passiert worden sind.

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Sei t die Zeit, die seit Losfahren des zweiten Zuges vergangen ist.

Für die insgesamt zum Zeitpunkt t zurückgelegte Weglänge des ersten Zuges gilt:

$s_1=110\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot \left(t+2\,\text{h}\right)$

$\rightarrow\quad s_1=110\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot t+110\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 2\,\text{h}$

$\rightarrow\quad s_1=110\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot t+220\,\text{km}$

Für die insgesamt zum Zeitpunkt t zurückgelegte Weglänge des zweiten Zuges gilt:

$s_2=220\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot t$

Wann holt der zweite Zug nun den ersten Zug ein?

$s_2=s_1\quad\Leftrightarrow\quad 220\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot t=110\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot t+220\,\text{km}$ $\Leftrightarrow\quad 110\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot t=220\,\text{km}$ $\Leftrightarrow\quad t=2\,\text{h}$

Wo befinden sich die Züge zu diesem Zeitpunkt?

$\left. s_{2}\right|_{t=2\,\text{h}}=220\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 2\,\text{h}=440\,\text{km}$

Wie viele Bahnhöfe wurden in dieser Zeit durchfahren?

Es wurden die Bahnhöfe bei 20 km, 100 km, 180 km, 220 km, 240 km, 300 km, 380 km durchfahren. Das sind 7 Bahnhöfe.

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Ergebnis: Es wurden 7 Bahnhöfe durchfahren.

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Alternativ könnte man auch erkennen, dass Zug 2 doppelt so schnell ist wie Zug 1. Demnach wird Zug 1 eingeholt, wenn nochmal die gleichermaßen eine Zeit von 2 h vergangen ist. Dementsprechend erhält man auch schnell 220 km/h ⋅ 2 h = 440 km die insgesamt zurückgelegte Weglänge und damit die Anzahl an passierten Bahnhöfen.

Answer 2

[evtldocha]

Der Rechenweg ist (Zeit t=0 ist, wenn der Zug 1 abfährt und die Zeit wird in Stunden gemessen):

$s_{Zug1}\left(t\right)=110\cdot t\ =\ 220\cdot\left(t-2\right)=s_{Zug2}\left(t\right)$ $\rightarrow\ -110\cdot t\ =\ -440\ \rightarrow\ t=4$

Sie treffen sich danach nach 4 Stunden Fahrzeit von Zug 1, was einer Fahrzeit von 2 Stunden von Zug 2 entspricht. Bis dahin hat Zug 1

$S_{Zug1}=110\ \cdot4\ =440$

440 km zurückgelegt, also den Bahnhof bei Kilometer 380 bereits passiert.