Verhältnis von Volumen zur Oberfläche?

Hallo,

Ich verstehe das bei der Bergmannschen Regel nicht: Je größer man ist, ist das Verhältnis von Volumen zur Oberfläche kleiner. Kann einer mir ein anderes Beispiel als den Würfel sagen?

Answer 1

[DedeM]

Moin,

aber ja:

Bei einer Kugel rechnest du das Volumen mit folgender Gleichung aus:

V_Kugel = 4/3 • pi • r³

mit V = Volumen, pi = 3,1415... und r = Radius.

Die Oberfläche einer Kugel ergibt sich aus:

O_Kugel = 4 • pi • r²

Und nun stell dir vor, es gäbe (gleichwarme) kugelförmige Tiere, die einmal den Radius von 4 cm und einmal von 8 cm hätten.

Dann ergäbe das Verhältnis Oberfläche zu Volumen im ersten Fall

O_Kugel / V_Kugel = 4 • pi • r² ÷ 4/3 • pi • r³

= 4 • 3,1415 • 4² cm²÷ 4/3 • 3,1415 • 4³ cm³

= 4 • 16 cm² ÷ 4/3 • 64 cm³

= 64 cm² ÷ 4/3 • 64 cm³

= ¾ cm^–1

= 0,75 cm^–1

Das heißt, dass das kleinere Tier 0,75 pro Zentimeter Wärme verliert.

Die analoge Rechnung für das kugelförmige Tier mit einem Radius von 8 cm ergibt:

O_Kugel / V_Kugel = 4 • 3,1415 • 8² cm² ÷ 4/3 • 3,1415 • 8³ cm³

= 4 • 64 cm² ÷ 4/3 • 512 cm³

= 256 cm² ÷ 4/3 • 512 cm³

= 0,5 • ¾ cm^–1

= 0,375 cm^–1

Das bedeutet, dass das größere kugelförmige Tier nur 0,375 pro Zentimeter Wärme verliert. Das ist nur halb soviel wie beim kleineren Tier, obwohl sein Radius doppelt so groß ist!

Das ist auch logisch, denn der Ort der Wärmeproduktion ist der Körper mit seinem Volumen.
Der Ort des Wärmeverlustes ist dagegen die Oberfläche. Aber mit jedem hinzu kommenden Zentimeter wächst das Volumen in dritter Potenz (Kubik), während die Oberfläche nur in zweiter Potenz (quadratisch) anwächst.
Deshalb wird das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen immer kleiner, je größer ein Tier wird. Es hat also einen immer größer werdenden Ort der Wärmeproduktion im Vergleich mit der kleiner werdenden Oberfläche, also dem Ort der Wärmeabgabe. Das heißt, dass ein größeres Tier in kälteren Gegenden insgesamt wärmer bleiben kann als ein kleineres Tier.

Und genau das will die Bergmann-Regel aussagen.

Wir können das auch gerne noch am Zylinder oder am Kegel durchexerzieren. Aber die Kernaussage bleibt immer gleich: Die Oberfläche wird in Quadratzentimetern gemessen, während das Volumen in Kubikzentimtern daherkommt. Darum muss - egal welche Körperform du betrachtest - das Verhältnis Oberfläche / Volumen bei größeren Tieren besser (kleiner) sein, da mit jedem hinzukommenden Zentimeter der Nenner (das Volumen) stärker wächst als der Zähler (die Oberfläche).

Ist es jetzt klarer geworden?

LG von der Waterkant

Answer 2

[Peppie85]

die Kugel ist ein schönes beispiel. sie hat im verhältnis zu ihrer Oberfläche das geringste volumen.

Mit der Kugel z.B. verhält es sich genauso wie mit dem Würfel. mit dem würfel lässt es sich aber am schönsten erklären.

Nehmen wir einfach an, wir haben Würfel mit einer Kantenlänge von 10 cm. das bedeutet für jeden würfel 10 x 10 x 10 cm also 1.000 cm³ an volumen. die Oberfläche dieses Würfels beträgt 600 cm² also 10 x 10 cm sprich 100 cm² pro seite mal 6 seiten.

wenn wir jetzt aus diesen würfelchen einen größeren Würfel bauen. sagen wir je 10 stück nebeneinander, voreinander und übereinander. dann brauchen wir dafür ganze 1.000 stück! das ergebnis ist ein Würfel mit der Kantenlänge von 100 cm.

100 x 100 x 100 cm sind 1.000.000 cm³ 100 x 100 cm fläche pro seite sind 10.000 cm² mal 6 Seiten ergibt das 600.000 cm² an oberfläche.

betrachten wir diesen großen würdfel jetzt als einen, dann verschwinden ja schon mal die obere Seite der Würfel aus der ersten schicht. für die 10. Schicht gilt das ähnlich, hier ist es die unterste schicht, die es nicht mehr gibt.

für die 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. und 9. schicht gilt: es gibt weder eine obere noch untere seite.

ich wills jetzt garnicht so weit ausufern lassen aber wenn wir jetzt unseren großen Würfel von 100 x 100 x 100 cm hohl bauen würden, dann hätten wir innen eine hohlraum von 80 x 80 x 80 cm also 8 x 8 x 8 Würfeln die im prinzip garkeine oberfläche mehr haben, da sie ja innen vom Würfel umgeben sind 8^3 das sind 512 also über die Hälfte der 1000 würfel die garkiene Oberfläche mehr haben. du siehst also, je größer der würfel wird, desto mehr raum umschließt er. auch bei gleicher gemoetrischer form.

selbst wenn wir uns jetzt einen sagen wir "rechteckigen Draht" denken also 1 x 1 cm.

sagen wir unser Draht ist einen Meter lang. also 100 cm lang. das wäre dann ein volumen von 100 cm³ klar, 1 x 1 x 100 cm bei einer oberfläche von 402 cm³ klar 100 cm x 1 xm und das mal 4 für die 4 seiten und die beiden Stirnflächen von je 1 cm²

verdoppln wir seine Länge, hätten wir 802 cm² oberfläche bei 200 cm³ volumen.

das verhältnis ist zwar nahezu gleich geblieben, aber die 2 cm² vorne und hinten. die machen einen unterschied.

lg, Anna

Answer 3

[10tel]

Kann einer mir ein anderes Beispiel als den Würfel sagen?

Zwei Würfel. Wenn du sie zusammenklebst, hast du die doppelte Masse, aber nur noch 10 von den zuvor 12 Oberflächen

Je größer man ist, ist das Verhältnis von Volumen zur Oberfläche kleiner.

Genau umgekehrt. Nehmen wir eine Kantenlänge von 1cm pro Würfel. Dann hat jeder Würfel einzeln das Verhältnis 1cm³/6cm², demnach beide 2cm³/12cm².

Volumen / Oberfläche = 2/12

Zusammengeklebt haben sie 2cm³/10cm²

Volumen / Oberfläche = 2/10 und damit größer.