Verändert sich das Verhältnis von Volumen zur Oberfläche, wenn man einen Würfel in seiner größe ändert?

9 Antworten

Hallo,

man kann sich die Formel des Verhältnisses leicht überlegen.

Ist x die Seitenlänge (z.B. in Meter) eines Würfels, dann ist das Volumen V
in Abhängigkeit zu x



und die Oberfläche O des Würfels in Abhängigkeit zu x



Es gilt also



Das Verhältnis V/O hängt also linear von x ab.

Gruß

Hallo,

das ändert sich sogar, wenn Du nichts an dem Würfel veränderst, sondern nur andere Einheiten benutzt.

Nimm einen Würfel von einem Meter Kantenlänge.

Seine Oberfläche mißt dann 6 m², sein Volumen 1 m³.

Du bekommst also sechs mal so viele Quadratmeter wie Kubikmeter.

Nun teile den gleichen Würfel in Dezimeter (10 cm) ein.

Die Kantenlänge ist nun 10 dm, die Oberfläche sind 6*10² dm²=600 dm².

Das Volumen mißt 10³ dm³=1000 dm³.

Nun hast Du bei genau dem gleichen Würfel, an dem sich nicht das Geringste verändert hat, auf einmal weniger Quadratdezimeter als Kubikdezimeter, obwohl es vorher noch sechsmal so viele Quadratmeter wie Kubikmeter waren.

Die unterschiedlichen Verhältnisse haben also weniger mit den unterschiedlichen Größen der Würfel zu tun als mit den Maßstäben, die man an sie anlegt.

Vergleichst Du unterschiedlich große Würfel, wenn Du einen vom jeweiligen Würfel abhängigen Maßstab anlegst, wirst Du bei jeder Größe das gleiche Verhältnis vorfinden.

Nimm anstelle von Meter, Dezimeter, Zentimeter, Zoll, Fuß oder Meilen als Maßstab einfach die Kantenlänge des jeweiligen Würfels als Einheit - schon sind die Unterschiede weg.

Egal wie groß der Würfel ist: Seine Oberfläche besteht aus 6 Quadratkantenlängen, sein Volumen aus einer Kubikkantenlänge.

Herzliche Grüße,

Willy

Das stimmt so nicht . Das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche ist nicht dimensionslos, sondern hat die Einheit einer Länge . Das Verhältnis beim Würfel ist a³ / 6a² = a/6, und dies ist eine Länge, und diese ist bei jedem Würfel nur abhängig von eben der Länge und nicht von der Einheit, in der du diese Länge misst. In deinem Beispiel von oben hast du einmal ein Verhältnis von 1/6 m und im zweiten Beispiel von 10/6 dm, und dies ist aber dasselbe.

Das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche hat also allein mit der Größe des Würfels zu tun und nichts mit der Einheit.

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das ändert sich sogar, wenn Du nichts an dem Würfel veränderst, sondern nur andere Einheiten benutzt.

Genau, und das verdeutlich doch, dass sich da nicht wirklich was verändert, es ist nur Zahlenspielerei

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Wie können sich da die Verhältnisse ändern?

Weil sich das Volumen mit der dritten Potenz ändert, die Oberfläche aber nur mit dem Quadrat.

Beispiel:

Würfel mit Seitenlänge a:
Oberfläche: 6a²; Volumen: a³

Würfel mit Seitenlänge 2a:
Oberfläche: 6(2a)² = 24 a²; Volume: (2a)³ = 8a³

Die Oberfläche vervierfacht sich also bei doppelter Seitenlänge, während das Volumen sich verachtfacht.

Aber natürlich immer! Schau dir doch einfach die 2 Formeln an und spiele 2-3 Zahlen durch!:

V = a³ und O = 6 *a² Bei a=6 wäre das Verhältnis 1! Daraus ergibt sich, dass mit jedem a das verhältnis anders wird!

Natürlich verändert sich das Verhältnis. Das kannst du dir ganz leicht mit den zugehörigen Formeln ausrechnen.

Wenn du die Seitenlänge verdoppelst, dann vervierfacht sich die Oberfläche, und es verachtfacht sich das Volumen. Damit hat sich offenbar auch das Verhältnis der beiden geändert.

Das heißt nichts. Die Verhältnisse bleiben gleich. Du brauchst nur mehr von dem Einen als vom Anderen, um dir einen größeren oder kleineren Würfel zu bauen. Aber im Endeffekt sind die Verhältnisse gleich.

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