Vektorprodukt Herleitung?
Vielleicht ist das das falsche Forum für diese Frage, ich bin jedoch grad am Verzweifeln, da ich bald einen Vortrag über das Kreuzprodukt halten soll und die Herleitung nicht ganz verstehe. Kann mir jemand erklären wie man auf das entgültige Ergebnis (siehe Bild unten) bzw. wie die auf n1, n2 und n3 gekommen sind?
Danke schonmal im Voraus
LG
4 Antworten
Verstehst du denn den Ansatz ganz am Anfang nicht oder die Umformungen, die danach durchgeführt wurden?
Indem man den Ausdruck für n3 in eine der beiden Gleichungen (I oder II) am Anfang einsetzt.
n ist der Normalenvektor, der auf a und b senkrecht stehen soll. Und n1, n2, n3 eben dessen Koordinaten.
Da a du eben drei Variablen n1, n2, n3, aber nur zwei Gleichungen hast, kriegst du einen eindimensionalen Lösungsraum raus. Das heißt du wählst eine Koordinate beliebig und die anderen zwei ergeben sich entsprechend daraus.
Und hier wird eben n1 so gewählt, dass sich bei n2 und n3 der Nenner wegkürzt.
Meiner Ansicht nach hätte man das aber deutlich einfacher herleiten können das Ganze, als es hier gemacht wurde.
Drehmoment aus der Physik
M=F*r wenn die beiden Vektroren F und r einen 90° Winkel bilden
M=0=F*r wenn F und r parallel liegen
bilden F und r einen Winkel
M=F*r*sin(a)
1) mach eine Zeichnung
2) r ist die x-Achse
3) F bildet den Winkel (a) mit der x-Achse
4) eine Normale zeichnen,die senkrecht auf der Wirkungslinie von F steht (kann man beliebig verlängern)
Der Drehmomentvektor M ist die y-Achse
Das Ganze ist ein Rechtssystem,siehe Mathe-Formelbuch Vektorprodukt (Kreuzprodukt).
Endformel ist M=r kreuz F
Definition :
Unter dem vektoriellen Produkt zweier Vektoren a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) versteht man einen Vektor a kreuz b=c der charakterisiert ist durch die Bedingungen
1) a kreuz b c steht senkrecht auf a und b
2) a,b und (a kreuz b)=c bilden ein in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem
3) Betrag (a kreuz b)=Betrag(a)*Betrag(b)*sin(a) wobei 0<gleich (a)<gleich pi
aus Bedingung 3) a=0 oder b=0 oder sin(a)=0 ist
sin(a)=0 wenn a und b parallel liegen
Tipp: Wähle zuerst 2 Vektoren a(ax/ay/0) und b(bx/by/0),dann steht der Vektor c senkrecht auf dem Papier
Das kannst du dann schnell überprüfen
weil ja a kreuz b=Betrag(a)*Betrag(b)*sin(a) ist
Wenn ich das richtig verstanden habe, kannst du deine Normalenvektorkoordinaten nicht eindeutig bestimmen, da deine Koordinaten n2 und n3 in Abhängigkeit von n1 erhalten werden. Wählst du also ein geeignetes n1, erhältst du konkrete Werte für n2 und n3.
Da du im Quotient beider Koordinaten n2 und n3 zweimal a2b3-a3b2 stehen hast im Nenner, kannst du mit der Wahl von n1 ständig kürzen und erhältst handliche Ausdrücke für deine beiden anderen Koordinaten
Ich verstehe nicht wie man auf n2 kommt