Unterschied zwischen Ähnlichkeitstransformation und Affintransformation (Geometrie)?

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Ähnlichkeitstransformation (4-Parameter-Transformation)

Bei 2 Passpunkten liegt ein eindeutiges Ergebnis vor.

Geometrisch bedeuten die 4 Parameter:

  • Verschiebung in x-Richtung
  • Verschiebung in y-Richtung
  • Maßstabsfaktor
  • Drehung

Eigenschaften:

die Winkel bleiben erhalten (Ähnlichkeit zwischen Urbild und Abbild)

aus Quadraten werden Quadrate veränderter Seitenlänge

aus Kreisen werden Kreise mit veränderten Radien

...

Affine Transformation (6-Parameter-Transformation)

Bei 3 Passpunkten liegt ein eindeutiges Ergebnis vor.

Geometrisch bedeuten die 6 Parameter:

  • Verschiebung in x-Richtung
  • Verschiebung in y-Richtung
  • Maßstabsfaktor in x-Richtung
  • Maßstabsfaktor in y-Richtung
  • Drehung der x-Koordinatenachse
  • Drehung der y-Koordinatenachse

Eigenschaften:

Winkel verändern sich (keine Ähnlichkeit zwischen Urbild und Abbild)

aus Quadraten werden Parallelogramme

aus Kreisen werden Ellipsen

Bei mehr als 2 bzw. 3 Passpunkten ist eine Ausgleichung erforderlich.

OK das klingt spannend. Ich meine aber gelesen zu haben, dass sich bei der affinen Transformation die Distanzen zwischen zwei Punkten nicht ändern. Also nach der Transformation ist der Abstand zwischen zwei Punkten einer Fläche gleich. Das ist so wie ich es Verstanden habe der Hauptunterschied zwischen einer affinen und projektiven Transformation.

Wenn aber aus einem Quadrat ein Parallelogramm wird, ändert sich der Abstand oder? Die Distanz von Punkt B (oben rechts) zu Punkt C (unten rechts) vergrößert isch ja bei einem Parallelogramm.

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@redsky

Aufgrund der Maßstabsfaktoren ändern sich die Längen der Strecken in beiden Verfahren. Es gibt auch eine 3-Parameter-Transformation (Verschiebung in x-Richtung, Verschiebung in y-Richtung, Drehung). In diesem Fall (kongruente Abbildung) bleiben die Streckenlängen erhalten.

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@gauss58

jaaa ok verstehe soweit. Dann ist der Unterschied zwischen der projektiven Transformation und affinen Transformationen der, dass es bei der projektiven Transformation zu keiner Verzerrung nach Veränderung der Maßstabsfaktoren kommt. Kann man das so sagen?

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@redsky

Ouh, lange her. Da hast Du acht Parameter. Was die alles machen ... da bleiben eigentlich nur Geraden gerade.

Sorry.

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@redsky

In der ursprünglichen Frage ging es um den Vergleich der Ähnlichkeitstransformation mit der Affinen Transformation. Eine projektive Transformation ist ein weiteres Verfahren mit 8 Parametern. Da geht z.B. auch die Parallelität verloren.

Ausführungen siehe z.B.:

https://www.fh-bielefeld.de/multimedia/Fachbereiche/Ingenieurwissenschaften+und+Mathematik/Dokumente/Forschung/AMMO/141120ProjektiveGeometrie.pdf

oder hier:

https://www.fernuni-hagen.de/mci/download/teaching/leseprobe_1699_ke1.pdf

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@gauss58 Ja das stimmt ich hier in den Kommentaren die Frage noch ein wenig erweitert. Ich habe das Thema dank deiner Hilfe jetzt besser Verstanden. Danke dafür :)!

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