Unterschied Differenzen - / Differenzialquotient?
Ich werd aus Wikipedia nicht schlau ... Was ist der Unterschied zwischen Differenzenquotient und Differenzialquotient ?
6 Antworten
Differenzenquotienten der Form
f ( x ) - f ( x0 ) / ( x - x0 )
beschreiben relative Wertänderungen, wie sie oft in der Praxis vorkommen, z.B. Geschwindigkeit, Stromstärke etc. Nachteilig ist, dass diese Wertänderung von der Differenz x - x0 abhängt:
Beispiel: f ( x ) = x^2
f ( x ) - f ( x0 ) / ( x - x0 ) = x^2 - x0^2 / (x - x0) = x + x0 = 2 x0 + (x - x0)
Deshalb ist es einfacher, nur den Grenzwert im Punkt x0 zu betrachten (falls er existiert):
- lim für x gegen x0 ( f ( x ) - f ( x0 ) / ( x - x0 ) )
Umgangssprachlich ausgedrückt elimiert man diese Differenzabhängigkeit x - x0 und man kommt zu einer momentanen Änderungsquote von f im Punkt x0
Man erhält (unter der weiteren Voraussetzung, dass x0 Häufungspunkt ist) dann für
f ( x ) = x^2 f' ( x0 ) = 2 x0
Der Grenzwert von 1. wird Differentialquotient (Ableitung) von f nach x an der Stelle x0 bezeichnet
(y2 - y1) / (x2 - x1) ... Differenzenqu.
wenn (x2 - x1) gegen Null geht: (y2 - y1) / (x2 - x1).... Differentialqu.
Der Differenzenquotient hat in Zähler und Nenner eine endliche, nichtverschwindende Größe. Sie muss endlich bleiben, sollte im Grenzbereich ein Ausdruck der Form 0/0 entstehen. Der Differentialquotient ist definiert, falls es im Grenzübergang NICHT zu einem solchen Gebilde kommt. Differenzenquotienten werden in der diskreten Mathematik häufig verwendet.
Der Differenzenquotient bezieht sich auf die Steigung für ein definiertes Intervall, der Differentialquotient (=Ableitung) beschreibt allgemein die Steigung an jedem beliebigen Punkt einer Funktion (sofern stetig).
der differenzenquotient: delta Y / delta X gibt die steigung einer kurve über einen "größeren" bereich (delta X) an, ist also die mittlere steigung in diesem bereich. wenn die steigung in genau einem punkt der kurve gesucht wird, muss der differenzialquotient angewendet werden (delta X geht dann gegen null).
siehe zur veranschaulichung mal bei: http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/MathematikUploads/ACDCA/DESTIME2006/DEScontribs/Dorfmayr/medienvielfalt/materialien/diffeinfuehrung/lernpfad/content/06differentialquotient.htm viel erfolg.