Differenzenquotienten und h-Methode?
Hallo :)
In Mathe ist unser aktuelles Thema Ableitungen, jedoch ist mir der Unterschied zwischen der h-Methode und dem Differrentialquotienten und dem Differenzenquotienten klar. Kann mich da wer aufklären, und mir die verschiedenen Anwendungsbereiche geben?
LG
2 Antworten
x sei der Wert an dem die Ableitung zu bestimmen ist.
Bei der h-Methode bewegst du dich um ein kleines Stück (nämlich um h) von x weg und berechnest (f(x+h) - f(x))/h. Nun versuchst du diesen Bruch so umzuformen, dass das h im Nenner wegfällt. Dann läßt du h gegen Null gehen, das Ergebnis ist der Differentialquotient an der Stelle x.
Bei der Methode über den Differenzenquotienten wählst du ein x_0 "in der Nähe" von x. Du berechnest (f(x) - f(x_0))/(x - x_0), eben den Differenzenquotient. Wieder versuchst du den Nenner so aufzulösen dass Therme mit x - x_0 verschwinden. Dann läßt du x_0 gegen x gehen und erhälst wieder den Differenzialquotienten.
Beide Methoden führen bei an x differenzierbaren Funktionen zum gleichen Wert, nämlich der Ableitung an der Stelle x. Welche davon einfacher ist ist von Funktion zu Funktion verschieden. f(x+h) zu berechnen kann manchmal aufwendig sein, dafür ist es oft einfacher das h im Nenner wegzubekommen, da es z.B. einfach kürzbar sein kann. f(x) - (x_0) mag oft leichter zu berechnen sein, dafür kann das x - x_0 im Nenner etwas sperrig werden. Hier hilft oft mit der dritten binomischen Formel zu erweitern.
Der Differenzenquotient liefert die Steigung einer Sekante (durch zwei Punkte des Graphen über ein Steigungsdreieck). Um die Steigung der Kurve in einem Punkt zu bekommen, "schiebt" man den zweiten Punkt immer dichter an den ersten. Der Grenzwert ist dann Differenzialquotient bzw. die Steigung oder Ableitung an dieser Stelle.
Das hätte ich aber nicht zu schreiben brauchen, da nach deinem Text dir dieser Zusammenhang klar ist ;)