Untergruppen von (Z/15Z)* bestimmen?
moin, kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich die Untergruppen bestimme? (Aufgabe (b))
2 Antworten
Zunächst einmal sind immer {1} und die Gruppe selbst Untergruppen.
Dann kannst du erstmal die zyklischen Untergruppen bestimmen - das sind die Untergruppen, die von einem einzigen Element erzeugt werden. Hierfür kannst du im Zweifelsfall einfach nacheinander für jedes Element gucken, welche Untergruppe es erzeugt.
Jetzt kannst du die zyklischen Untergruppen langsam um Erzeuger erweitern: Füge zu einer zyklischen Untergruppe ein Element hinzu, das nicht drin lag, und schau welche Elemente dadurch aufgrund der Abgeschlossenheit hinzukommen müssen.
Als kleiner Tipp zur Vereinfachung: Da (Z/15Z)* eine Ordnung von 8 hat, müssen alle Untergruppen eine Ordnung von entweder 1, 2, 4 oder 8 besitzen. Wenn du also eine Untergruppe der Ordnung 4 hast, brauchst du gar nicht erst ausprobieren, neue Elemente hinzuzufügen - das Ergebnis hat dann ja mehr als 4 Elemente, muss also nach obiger Beobachtung genau 8 Elemente besitzen, also bereits die ganze Gruppe sein.
Die einheitengruppe ist immer eine Gruppe und dann die Zahlen, die durch 3 und 5 geteilt werden .
