Umfang von Kreisteilen?
Kann mir jemand bitte mit der Aufgabe a helfen, komme nicht weiter :/
4 Antworten
Hilfsquadrat mit Seite a/2 und Diagonale a/2 * wurzel(2) einzeichnen . Der Stiel besteht aus zwei Hälften : Jede aus einem Viertelkreis minus dem durch die Diagonale halbierten Quadrat...............
pi * (a/2)² - ( (a/2)*(a/2) ) /2 = pi*a²/4 - a²/8 = a²/4 * (pi - 1/2)
nun mal 2.
.
Die Kappe besteht aus einem Viertelkreis mit Radius a minus zweimal einem Halbkreis mit Radius a/2 plus der (zuviel abgezogenen) Fläche des Stiels.
Hallo,
teile das große Quadrat in vier Viertel auf.
Nun berechne erst einmal den Viertelkreis, der den Schirm des Pilzes oben begrenzt.
Der Viertelkreis hat den Radius a, Fläche also (1/4)*pi*a².
Davon ziehst Du nun zwei kleine Viertelkreise mit Radius a/2 ab, die sich rechts unten und links oben befinden und sich zu einem kleinen Halbkreis summieren:
Der kleine Kreis hat eine Fläche von (1/4)*pi*a², der halbe daher (1/8)*pi*a².
Großer Viertelkreis minus kleiner Halbkreis gleich (1/4)pi*a²-(1/8)pi*a²=(1/8)pi*a².
Davon ziehst Du noch das kleine Quadrat links unten ab,
so daß Du auf (1/8)pi*a²-(1/4)*a² kommst und so die Fläche des Pilzes ohne Stiel hast.
Um den Stiel zu berechnen, betrachtest Du das Quadrat links unten, das Du durch eine Diagonale von links unten bis zur Mitte des großen Quadrats in zwei rechtwinklige Dreiecke einteilst, die Katheten der Länge a/2 haben.
Ziehst Du von einem Viertel eines kleinen Kreises so ein Dreieck ab, hast Du den halben Stiel.
Kleiner Kreis mit Radius a/2 ist (1/4)pi*a².
Kleiner Viertelkreis also (1/16)pi*a².
Dreieck ist gleich (1/2)*a²/4=(1/8)a².
Halber Stiel daher (1/16)pi*a²-(1/8)*a².
Ganzer Stiel ist das Doppelte, also (1/8)pi*a²-(1/4)*a².
Der wird nun zum Schirm addiert:
(1/8)pi*a²-(1/4)*a²+(1/8)pi*a²-(1/4)*a² ergibt (1/4)pi*a²-(1/2)a²=(1/2)a²*(pi/2-1).
Die Fläche der pilzartigen Figur in Abhängigkeit von a ist also a²/2*(pi/2-1).
Das sind ungefähr 28,5 % der Fläche des Quadrats.
Herzliche Grüße,
Willy
Das bezieht sich allerdings auf Aufgabe b), die schwieriger ist.
Jetzt, da Du weißt, wie sich die Flächen berechnen lassen, kannst Du leicht zeigen, daß die Flächen von Schirm und Stiel gleich groß sind.
Hey, du musst einfach mit der Formel für den Kreisumfang c= 2Pi*a rechnen, a jedoch nicht ersetzen, sondern annehmen, dass das die gesuchte Zahl ist. Dann musst du dir einfach die Seiten des Pilzes als 1/4 bzw. 1/2 Kreise vorstellen.
Ein Kreis mit Durchmesser a+ 1/4 Kreis mit Radius a
2 Halbkreis mit Durchmesser a, so ist es vielleicht leichter zu sehen