Teilbarkeiten : Behauptung?
n x (n+1) x (n + 2) ist durch 2 und 3 teilbar . Wie kann ich diese Behauptung formal zeigen, dass Sie stimmt ?
3 Antworten
Argumentativ ist es einfach:
Von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen, wie es n, n+1, n+2 eben sind, muss mindestens eine durch 2 und genau eine durch 3 teilbar sein.
Formal könnte man das so zeigen:
Für Teilbarkeit durch 2: es gibt 2 Fälle:
n durch 2 gerade -> damit ist klar, dass n (und auch n+2) durch 2 teilbar ist.
n ungerade, dann gilt: n = 2k+1; dann ist aber n+1 = 2k+1+1 = 2k+2 = 2(k+1) gerade.
Für Teilbarkeit durch 3
Hier gibt es 3 Fälle
n mod 3 = 0 -> n ist durch 3 teilbar, fertig
n mod 3 = 1 -> (n+2) mod 3 = 0 -> n+2 ist durch 3 teilbar
n mod 3 = 2 -> (n+1) mod 3 = 0 -> n+1 ist durch 3 teilbar
Also letztendlich kannst du ja argumentieren, dass jede zweite Zahl gerade ist, also entweder n oder n+1 gerade sein muss. Und das dann durch 2 teilbar ist, also auch das Produkt mit dem Rest.
Und bei der 3 genauso. Jede dritte Zahl ist durch 3 teilbar, da du drei aufeinanderfolgende Zahlen miteinander multiplizierst, muss eine davon durch 3 teilbar sein, also auch das gesamte Produkt.
D.h. in beiden faellen ist k ∈ N, somit auch nach dem Teilen sind die gewonnenen Zahlen, alle in N definierbar.
Da z.b. n = 2k waere, z.b. k=1, 2, 3, ...,N, dann ist immer einer von den o.g. Teilbar durch 2....(Da n = 2, 4, 6, ..., 2k) . D..h. man "hilft" den Nenner 2 der ja verlangt wurden ist als Nenner 2 (bzw. Teilbar durch 2).
"dass das gesamte Produkt durch 2 oder 3 teilbar ist, wenn eh ein Vielfaches davon drinsteckt."
Fuer z.b. 2k+1 oder k+1 durch 2 und k = 2 laesst sich wohl kaum Teilen, aber 2k fuer z.b. k = 2, und dass wiederum 2*2 /2 waere wohl Teilbar.
Ist dir nicht klar, was ich meine?
Wenn du n=2k setzt, erzwingst du, dass n nur gerade sein darf. Bzw. mit n=3k nur ein Vielfaches von 3 sein darf. Aber dann kannst dir die ganze Beweiserei auch sparen, weil es dann wie gesagt wirklich völlig trivial ist.
Aber für n=5, was ja weder mit n=2k noch n=3k darstellbar wäre, gilt ja trotzdem:
5*6*7 ist sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar (hier einfach erkennbar an der 6).
Für n=7 ist 7*8*9 durch 2 (wegen der 8) und durch 3 (wegen der 9) teilbar, auch wenn es wieder weder ein Vielfaches von 2 noch ein Vielfaches von 3 ist.
Ich glaub ich versteh jetzt deinen Gedankengang. Was du aber ja grade nicht machen sollst, war das, was du gemacht hast, nämlich ein n anzugeben, für das das passt, sondern zu zeigen, dass es FÜR ALLE n gilt.
Gut, dann halt nicht k elem. N, sondern k elem. R.
Aber :
2k*(k+1)*(2k+1) elem. N , k elem. R.
Bsp. :
n = 5 -> k = 2,5 elem R
Bzw. : 2*2,5/(2,5+1)*(2*2,5+1)=105 elem. N
Identisch : 5*6*7 ist sowohl durch 2 -> 105
Sorry, aber das ist doch Quatsch, wenn du dann k aus R nimmst. Dann hast ja auch sämtliche nichtnatürlichen Zahlen da drin, für die das natürlich dann eh Quatsch ist, etwas über Teilbarkeit aussagen zu wollen. Denn außer durch 0 ist dann ja eh alles durch alles teilbar.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=4*x%5E3%2B6*x%5E2%2B2*x
Das wuerde gehen, fuer 2k*(k+1)*(2k+1) elem. N , k elem. R
Da gibt es unendliche viele k Werte die dann auch dass erfuellen....k elem. R,
2k*(k+1)*(2k+1) elem. N.
Natürlich gibt es unendlich viele Werte für k, die das erfüllen. Darum geht es doch gar nicht. Aber es gibt auch unendlich viele Werte für k, die das NICHT erfüllen, wenn du k aus R nimmst. Und damit hat doch die ganze Aufgabe auch überhaupt keinen Sinn mehr. Denn woher willst du mit k aus R dann zeigen, dass es für jede natürliche Zahl gilt? Alle ausprobieren?
k elem. R , (Neuer Produkt) 2k*(k+1)*(2k+1) elem. N
Bzw. :
2k*(k+1)*(2k+1)= m --> m elem. N
Durch umformen :
4*k^3+6*k^2+2*k-m=0
--> https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
Dadurch haette man 3 Loesungen bekommen (Also k in Zusammenhang mit m, und m elem. in N), da k in R definierbar waere, aber durch dass Substituieren im neuen Produkt 2k*(k+1)*(2k+1) waere der neue Produkt immer elem. in N, was ja auch von vorne rein verlangt wurden ist, also das alte Produkt n*(n+1)*(n+2) durch 2 soll auch immer Natuerlich N sein. Dem alten Produkt hat man die bei der Teilbarkeit durch 2 "geholfen", in dem man n=2k genommen hat, und dadurch einen neuen Produkt gewonnen der dann unter 1. Voraussetzung dass k elem. R sein soll, 2. Dass auch der neu Produkt der ja durch 2 geteilt wurden ist, sollte ebenfalls in N definierbar sein.
Möglicherweise mag das ja sogar stimmen. Aber das Einzige, was du mit deinen Ausführungen doch machst, ist ne eigentlich recht simple und gut verständliche Aufgabe unnötig aufzublähen und zu verkomplizieren.
Tatsaechlich kann man dadurch wissen ob es ueberhaupt Zahlen gibt sei es n oder 2*k, die den Produkt (alt, neu) so definieren dass das Produkt immer in N definierbar waere. Die Loesungen des 3. Grad Polynoms gibt mind. 1 Reale Loesung, und man Loest nach n oder wie o.g. nach k auf.
Aber auch um welche Zahlen es sich hierbei handelt, kann man dadurch auch "ermitteln", d.h. einfach zu sagen dass z.b. n =1, 2, 3, 4, 5 waere, ist ja beinahe dass man sich damit abfindet dass eigentlich nur n elem. N waere. Dass wiederum ist nicht immer der Fall, bzw. :
Durch umformen aus n : (n^3+2*n^2+2*n)/2 = m , m elem. N . (Bsp. ohne n=2*k)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(n%5E3%2B2*n%5E2%2B2*n)%2F2+%3D+m
Heisst dass : Nicht alle n elem. in N waeren, sondern tatsaechlich n elem. in R sind, d.h. n kann auch ein Bruch sein, usw.. Also eine Reale Loesung die zeigt dass man n in R definiert, nicht nur in N.
Die von mir o.g. k elem. in N waere also nur zum Teil richtig, genau so aehnlich gilt dass auch fuer n elem. in N (o.g. im Bsp. n = 5), also nur zum Teil richtig.
Ich lass mir ja noch gefallen, dass du zeigen willst, dass
(n^3+2*n^2+2*n)/2 = m , m elem. N bzw.
(n^3+2*n^2+2*n)/3 = m , m elem. N für alle n elem. N.
Aber bei allem anderen, was du hier an Erklärungen bringst, steige ich jetzt aus.
Nicht persönlich nehmen, aber Leute wie du haben mir den Spaß an Mathe an der Uni kaputt gemacht. Weil sie es fertiggebracht haben, dir nicht die Dinge, die dir unklar waren, so zu erklären, dass du sie dann verstanden hast. Sondern dass dir durch ihre umständlichen Erklärungen irgendwann auch noch die Dinge unklar waren, die du ursprünglich mal verstanden hattest.
Ich hab mein bestes gegeben...
(n^3+2*n^2+2*n)/3 = m , m elem. N für alle n elem. N.
Ich meinte n elem. R.
Naja ist jetzt egal....
Wie gesagt, die Aufgabe an sich ist mir klar und ich fand auch meine Lösung dazu mehr als nachvollziehbar. Aber hätte ich deine Ausführungen dazu gelesen, hätte ich irgendwann frustriert aufgegeben und mich für zu blöd dafür gehalten. Und mir dann nur gedacht "Sollen sich doch Leute wie du damit beschäftigen, wozu schlage ich mich mit sowas überhaupt rum?"
:)))), als ich noch Student war, da hab ich immer den Professoren sehr oft den Kopf verdreht...., das Interessante dabei war, wenn etwas eine Loesung hatte kam bei mir die gleiche Loesung heraus wie bei den...., Parade Beispiel nenne ich mal z.b. die Lineare Regression, danach schauten die immer "Hae wie machst der das"..... ;)))
Dann schwebst du wohl einfach in anderen Sphären als andere Leute...
Dein Beweis hinkt aber insofern total, dass du ja davon ausgehst, dass n Vielfaches von 2 bzw. 3 sein muss. Aber das wurde ja nirgends vorausgesetzt, dass das gelten muss.
Und um das von mir ungeliebte Wort zu benutzen, wäre es in dem Fall ja dann eh trivial, dass das gesamte Produkt durch 2 oder 3 teilbar ist, wenn eh ein Vielfaches davon drinsteckt.