Tan und Cos Funktion im Einheitskreis Vorzeichen?
Hallo Mathe Begeisterte. Hier eine Frage um euren Durst zu stillen. Warum ist die Tan Funktion links oben und rechts unten Negativ. Und der Cot ebenso. Bitte um simple und nachvollziehbare Erklärung. Hier noch das Entsprechende Bild.
Danke im voraus.
3 Antworten
Am Einheitskreis dreht sich ein Vektor mit dem Betrag(r)=1 im mathematisch positiven Sinn,also entgegen dem Uhrzeigersinn.
Die Koordinaten der Vektorspitze werden dann rechts neben dem Einheitskreis in ein x-y-Koordinatensystem eingetragen
Tipp:Mach eine Zeichnung und trage den Vektor r=1 in die 4 Quadranten ein.
Dann führe Proberechnungen durch und notiere dir die Winkel und wo diese liegen.
Am Einheitskreis sieht man dabei ein rechtwinkliges Dreieck.
siehe Mathe-Formelbuch,Geometrie,rechtwinkliges Dreieck.
sin(a)=Gk/Hy und cos(a)=Ak/Hy und tan(a)=Gk/Ak
Hy=Hypotenuse ist r=1
Beispiel: (a)=60° ergibt die Werte
Gk=sin(60°)*1=0,866...
Ak=cos(60°)*1=0,5
tan(60°)=1,732
tan(a)=Gk/Ak=0,866/0,5 ergibt (a)=arctan(0,866/0,5)=60°
Das war der I Quadrant
Nun der II Quadrant
(a)=120°
Gk=sin(120°)*1=0,866..
Ak=cos(120°)*1=-0,5
(a)=arctan(0,866/-0,5)=-60° das ist der Winkel zwischen dem Vektor r=1 und der x-Achse
tan(120°)=-1,732 also tan(a)=Gk/Ak=0,866/-0,5=-1,732
im III Quadranten ist dann wieder tan(a)=(-Gk/-Ak)=positiv
Wenn Du den Tangens und den Kotangens umschreibst, sollten sich Deine Frage klären:
Wenn der Sinus und der Kosinus verschiedene Vorzeichen haben, ist der Tangens negativ ("plus durch minus und minus durch plus ergibt minus"), wenn sie gleiche Vorzeichen haben, ist er positiv ("plus durch plus und minus durch minus ergibt plus").
Vom Tangens zum Kotangens ändert sich das Vorzeichen nicht.
LG
Ganz einfach , der sinus geht nach oben bzw unten und der cosinus nach rechts bzw links. Der sinus ist nach oben positiv und nach unten negativ und der cosinus nach rechts positiv und links negativ. Da , wo beide (sinus und cosinus) das gleiche Vorzeichen haben (positiv bzw negativ) ist der tangens positiv, bei verschiedenen ist er negativ.