Summenformel (Mathe)?

Hii, hab eine Frage zu Mathe

ich habe die Funktion f(x)=x^2

und ich soll anhand der summenformel die Fläche zwischen x Achse und Graph berechnen

Intervall ist 0<x<1

Wie bestimme ich es bei U4 und O4?

u -> unterhalb der x Achse

O -> oberhalb der x Achse

wir machen das so in kleinen Schritten mit Rechtecke (hoffentlich versteht ihr was ich meine 😅)

Answer 1

[Chrissstian]

Ich weiß nicht was mit U4 und O4 gemeint ist. Aber wenn ich den Rest richtig verstanden habe, kannst du folgendermaßen vorgehen.

Teile das Intervall [0,1] auf der x-Achse in n äquidistante Intervalle ein und nähere dich mit einer Treppenfunktion an f(x) an (z.B. von unten).

Dann kannst du die Fläche der Treppenfunktion berechnen, indem du die Fläche der einzelnen Rechtecke (mit breite 1/n) aufsummierst. Also: $\sum_{i=0}^{n-1}f\left(\frac{i}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i^2}{n^2}\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\cdot\sum_{i=0}^{n-1}i^2=\frac{1}{n^3}\left(\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}\right)$

Für die letzte Gleichheit sollte einem die Summenformel für die ersten n Quadratzahlen bekannt sein. Es gilt weiter:

$\frac{1​}{n^3}\left(\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}$

Jetzt lässt man n gegen Unendlich gehen um sich der Funktion anzunähern und erhält die Fläche.

$\lim_{n->\infty}\ \ \frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}=\frac{1}{3}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik Studium