Summe in ein Integral überführen?
Eine Frage, gibt es eine Regel oder Methode mit der man eine beliebige Summe als Integral schreiben kann um es einfacher lösen zu können, wenn Ja dann wie?
4 Antworten
Du kannst eine beliebige Summe in ein Integral ueber eine geeignete Treppenfunktion ueberfuehren. Das macht die Berechnung der Summe aber natuerlich nicht einfacher.
Integrale lassen sich oft leichter ausrechnen, weil sie als Grenzwerte von Summen definiert sind. Grenzwerte lassen sich meist leichter bestimmen als Partialsummen: Betrachte z.B. die Summe ueber 1/k! fuer k=0 bis n. Hierfuer wirst Du keine "schoene" Summenformel finden. Den Grenzwert fuer n⟶∞ kann man aber recht simpel angeben, es ist schlicht die Euler'sche Zahl e.
Wenn Du Glueck hast, lassen sich Grenzwerte von Summen auf ein Integral zurueckfuehren. Fuer allgemeine Summen (insbesondere ohne Grenzwerte) sieht's aber schlecht aus...
Eigentlich ist das Integral ja eine Summe!
Du kannst ja die Fläche unter einer Kurve in beliebig viele Rechtecke "zerlegen", und zwar so, dass die untere Breite auf der x-Achse liegt, die Länge ist dann jeweils der Funktionswert. Dis Summen der Flächen der einzelnen Rechtecke ist dann annähernd gleich der Fläche zwischen Kurve und x-Achse.
Je kleiner du die Breite wählst, desto genauer wird die Annäherung an die exakte Fläche → wenn die Breite gegen 0 geht, spricht man von Integral.
Das Integralzeichen ∫ ist ja auch eigentlich ein "s" - früher gab es unterschiedliche "s", unter anderem auch ein langes - und dieses lange s wurde zum Integralzeichen → ∫ wie summe.
Eine Summe kann man nicht immer in ein Integral überführen.
Du kannst die Summe als Integral nur dann anschreiben wenn sich der Wert der Summe innerhalb einer iteration nur sehr wenig ändert.
Als Beispiel die Summe [n=3000 bis 4000] 1/n ergibt = 0.288
Als Integral geschrieben lautet das Integral:
Integral [3000 bis 4000] 1/x dx = 0.287
Der Unterschied ist kleiner als 0.001 wenn man nicht rundet.
Je kleiner das 1/n in der Summe wird desto geringer wird die Abweichung zum Integral. Denn das Riemansche Integral ist ja auch nichts anders als eine Summe, allerdings ändert sich die Folge der Teilreihen nur um einen infinitisimal kleinen Wert welcher mit dx angedeutet wird.
Als Beispiel wenn es nicht geht nehmen wir die selbe Form wie oben allerdings mit n = 3 bis 10
Summe: 1.43
Integral: 1.2
Ab wann also die Darstellung der Summe als Integral zulässig ist und wann nicht hängt damit nur von der geforderten Genauigkeit ab.
Du kannst jede Konstante als Integral schreiben. Was ist bitte eine "beliebige Summe"? Mit oder ohne Unbekannte?