Stetigkeit bei Funktionsschar nachweisen?

Hey,

ich habe gerade Schwierigkeiten mit Aufgabe im Anhang.

Ich bleibe im Aufgabenteil b) an der Stelle hängen, nachdem ich den Betrag innerhalb des ln's für x<2 und x>2 aufgelöst habe.

Für x<2:

ln( [ (-1) * x² + x + 2 ] / [ -x - 2 ] )

Für x>2:

ln( [ x² - x - 2 ] / [ x + 2 ] )

Um den rechtsseitigen und den linksseitigen Limes zu berechnen konnte man bisher immer irgend eine sinnvolle Umforumg innerhalb des Bruches vornehmen, damit ich den Kritischen Punkt ( in dem Fall 2 ) als Grenzwert einsetzen und ausrechnen kann.

Diesmal fällt mir keine sinnvolle Umformung ein.

Viele Grüße

Answer 1

[iokii]

x²-x-2 hat 2 als Nullstelle, d.h. es lässt sich schreiben als (x-2)*(x-irgendwas) , dann kannst du das (x-2) im Limes rauskürzen.

Comments

[stekum]

Man löst x² - x - 2 = 0

[fragexaxaxa]

okay danke sehr. Ich kann ja (x-2)*(x+1) daraus machen. Hast du einen Trick wie du sowas auf Anhieb siehst, oder hilft da nur zig Beispiele durch rechnen bis man ein Gefühl für soetwas bekommt?

Answer 2

[KDWalther]

Die beiden Teilfunktionen sind - für sich genommen - in ihrem Def.-Bereich auf jeden Fall stetig. Also musst Du "nur" noch für die Stetigkeit bei x = 2 sorgen.

Hierzu muss der Grenzwert des oberen Termes für x gegen 2 mit dem unteren Wert übereinstimmen. Also ist die eigentliche Aufgabe, den Grenzwert des oberen Termes zu berechnen. (vgl. Antwort von iokii).

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Mathestudium

Answer 3

[stekum]

4a) Für x ≠ 2 ist f(x) = ln |x + 1| und das ist nur für x = - 1 nicht definiert,
also ist D = R ohne - 1.

4b) a = ln |2 + 1| = ln 3

Comments

[stekum]

Verstehe ich nicht. Die kleinstmögliche Def.menge ist die leere Menge.

[fragexaxaxa]

Okay, danke für die Antwort.

Ich werde die Hausaufgabe mit dem Intervall D = ]-1,+unendlich[ abgeben, weil unser Tutor immer die kleinstmögliche Definitionsmenge angegeben bekommen möchte.

Answer 4

[Asandil11]

offentsichtlicu muss man noch x = -1 aussschließen.

ln(| x^2 - x - 2 / x -2 |)= ln (|x+1|)

lim x -> 2 (ln (|x+1|)) = ln 3

nun soll, damit stetigkeites Bed. erfüllt, auch lim x-> 2 (a) = ln 3 sein.

also a =ln 3.

Answer 5

[PhotonX]

Nachdem der ln für alle positive Argumente stetig ist, reicht es nur seinen Argumenten auf Stetigkeit zu untersuchen (eine Verkettung stetiger Funktionen ist stetig).

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

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[fragexaxaxa]

D.h. mein erster Schritt ist es die Funktion in die Teilfunktionen g(x) = ln( x² - x - 2 ) und h(x) =  ln ( x - 2 ) zu splitten.

[PhotonX]

@fragexaxaxa

Nein. g(y)=ln(y) und y(x)=[Argument des ln]