Sprungchanze - Ableitungsregel?
Aufgabe:
Bei der 115. Sendung von „Wetten, dass ...?“ am 20.02.1999 in Münster gab es folgende Wette: Wetten, dass es Toni Rossberger schafft, auf der Olympia-Sprungschanze in Garmisch-Partenkirchen mit seinem Motorrad bis zur Startluke S hinaufzufahren und dann herunterzuspringen?
Harald Schmidt tippte „Nein“. Sein Wetteinsatz bestand darin, dass er sich gemeinsam mit Heidi Klum in Müllsäcke kleiden musste, wenn die Wette gewonnen wird.
Um zu beurteilen, ob es überhaupt möglich war, die Wette zu gewinnen, hier einige Informationen:
• Das Profil der Sprungschanze in Garmisch kann näherungsweise durch die Funktion f mit f (x) = 1/150 x2 für Df = [0; 80] beschrieben werden.
• Der Hersteller von Rossbergers Motorrad gibt an, dass mit der Maschine unter den gegebenen Bedingungen maximal Steigungen von 100 % bewältigt werden können.
a) Berechne mithilfe der Änderungsrate (Tabelle oder h-Methode) die Ableitung von f an der Stelle 70.
Ist es mit Rossbergers Motorrad möglich, die Schanze bis zur Startluke S (70 | 32 ⅔ ) hinaufzufahren?
b) Berechne die Ableitung von f an einer allgemeinen Stelle x0.
Welchen Punkt der Olympia-Schanze kann Rossberger mit seinem Motorrad maximal erreichen, wenn die Angaben des Herstellers stimmen?
c) Überprüfe deine Rechnungen aus a) und b) mit der Ableitungsfunktion f ‘(x).
1 Antwort
Die Ableitung einer Funktion, gibt die Steigung der Funktion für jeden Punkt x_0 an.
Die Ableitung von f(x) = 1/150 x^2
ist f'(x)= = 1/75 x
a) f'(70) = 70/75 = 14/15
b) siehe f'(x)= = 1/75 x
100% Steigung entsprechen 45°, Das Motorrad kann also maximal bis zu einer Steigung von m=1 fahren.
c) Du musst a und b eigentlich mit anderen Verfahren rechnen, daher hier nur mal Vergleichsergebnisse :)
bei b musst du erst die allgemeine ableitung bestimmen, im grunde einfach f'(x)= = 1/75 x.
Da 100% Steigung 45° entsprechen (stell dir eine gerade mx+c mit steigung m=1 vor, diese hat auch 45° steigung), suchst du dann den wert x, für den die ableitung f'(x) = 1 ergibt.
Das wäre für x = 75 der fall (f'(75) = 1/75 * 75 = 1)
Kann ich dann c) so stehen lassen oder nicht?