Senkrechte Asymptoten, Vorzeichenwechsel ja oder nein
Hallo,
ich habe eine Frage; wir machen zurzeit in Mathe Asymptoten durch und die senkrechten sind mir noch immer ein Dorn im Auge:
Wenn ich eine Gleichung habe wie z.B. x²+4 / 2x-6 wäre die Asymptote ja 3 (wenn ich mich gerade nicht verrechnet habe). Schön und gut, aber dann wurde uns gesagt, man müsse folgenden Rechenschritt machen, um zu erkennen, ob sie + oder - Unendlich geht: man müsste eine knapp größere und knapp kleinere Zahl als 3 (also 2,99 und 3,01) einsetzen und sich dann einfach das Ergebnis ansehen. Meine Frage: geht das nicht auch einfacher? Bzw. kann man anstelle von 2,99 und 3,01 nicht einfach 2 und 4 nehmen?
Viele Grüße und danke im Voraus!
3 Antworten
Klar kannst du auch 2 und 4 nehmen aber es ist sinnvoller, möglichst nah an der Asymtote zu prüfen, denn theoretisch kann eine Funktion ja selbst bei einem so kleinen Intervall wie 1 die Richtung bzw den Wert ändern. Somit wäre dein Ergebnis verfälscht und dann beißt du dir in der Klausur in den Hintern, weil du zu "faul" warst, eine Kommazahl in den Taschenrechner einzutippen ;) Bei Asymptoten ist es also immer sinnvoller den Abstand zwischen ihnen und den Prüfstellen so winzig wie möglich zu halten, um mögliche Fehler und Ungenauigkeiten zu vermeiden.
Man könnte sich Funktionen basteln, die nahe der Polstelle erst sehr stark "schwingen", bevor sie ins unendliche gehen. Funktionen, die ihr in der Schule habt, sind aber nicht so "gemein".
Stell dir sowas vor wie eine zusammengequetschte Sinuskurve, die aber dann in eine Polstelle ausläuft.
Naja, man kann sowas machen: Der Zähler ist an einer Polstelle ja immer ungleich 0. Der ist da also positiv oder negativ. In deinem Fall ist er positiv: 3²+4=9+4=13.
Also hat nur der Nenner Einfluß darauf, ob die Funktion gegen + oder - Unendlich geht. Es reicht, sich den Nenner anzusehen (vom Zähler musst du natürlich beachten, ob der an der Polstelle positiv oder negativ ist). Der Nenner ist bei dir 2x-6, das entspricht einer Geraden, und die schneidet die x-Achse bei 3 (da ist ja auch deine Polstelle), links davon sind die Werte von 2x-6 negativ, rechts positiv.
Da dein Zähler positiv ist, bleibt es dabei: links von der Polstelle ist die Gesamtfunktion negativ, rechts positiv;
also links geht die Funktion gegen -unendlich, links gegen +unendlich.
Das ist eigentlich einfacher und sicherer als dein Einsetzen, andererseits tun sich viele mit solchen Überlegungen schwer.
Was passiert dagegen, wenn der Zähler negativ wäre? Würden die Werte dann genau umgekehrt positiv und negativ sein?
Was passiert dagegen, wenn der Zähler negativ wäre? Würden die Werte dann genau umgekehrt positiv und negativ sein?
Genau so.
Du hast ja die Regeln "Minus mal Minus ergibt Plus" etc. Es gilt genauso auch "Minus durch Minus ergibt Plus" etc. Das kannst du da verwenden.
kannst du auch nehmen.
Aber schmiegen sich die Graphen bei Asymptoten nicht bis in die Unendlichkeit an? Können sie dann überhaupt den Wert in Richtung Asymptote plötzlich verändern; müssten sie nicht bei jeder x-beliebig hohen Zahl gleich bleiben? Oder habe ich gerade einen großen Gedankenfehler? :D