Gerade, die senkrecht auf einer Ebene steht und durch einen Punkt verläuft angeben?

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4 Antworten

Hallo,

hast Du nicht ganz richtig gemacht.

In der Koordinatenform einer Ebene sind die Koeffizienten (also die Zahlen vor x, y und z) die Komponenten eines Normalenvektors der Ebene, eines Vektors also, der auf dieser Ebene senkrecht steht.

Dieser Normalenvektor ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade.

Der Stützpunkt ist der gegebene Punkt auf der Ebene, durch den die Gerade gehen soll, also (8|9|0).

So kommst Du auf die Punkt-Richtungsform der gesuchten Geraden:

(8/9/0)+r*(-21/-28/14)

Beim Richtungsvektor kannst Du den gemeinsamen Faktor 7 herausziehen und ihn in r integrieren. r ist schließlich ein beliebiger Faktor, der die Länge des Vektors beeinflußt und das Ende, an dem die Spitze des Vektors liegt (je nachdem, ob r eine negative oder eine positive Zahl ist).

Also: (8/9/0)+r*(-3/-4/2)

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Kurona
06.11.2016, 20:36

Dass mit dem gemeinsamen Faktor wusste ich noch gar nicht...wieder was dazu gelernt. Jetzt kann ich wenigstens bequem den Schnittpunkt ausrechnen.

Und danke, dass du das so ausführlich geschrieben hast, so habe sogar ich es verstanden :)

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Kommentar von Willy1729
13.11.2016, 17:15

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Nein, Deine Formel ist so nicht richtig. Du musst Dir zu allererst immer eine gescheite Skizze machen.

Die schwarze schiefe Linie soll Deine Ebene darstellen (nur im Prinzip). Der rote Vektor ist der Normalenvektor (-21,-28,14). Dieser hat zunächst nur die Eigenschaft, dass er auf der Ebenen senkrecht steht. Wenn Du diesen Vekor mit t multiplizierst

   (-21, -28, 14) · t

Dann kannst Du mit Veränderung des Wertes t jeden beliebigen Punkt auf der Verlängerung des roten Vektors ansteuern. Du kannst dich auf einer gedachten Linie bewegen.

Du kannst aber trotzdem nicht den grünen Punkt P an der Stelle (8, 9, 0) ansteuern. Dazu müsste der parametrisierte Normalenvektor
(-21, -28, 14) · t   noch zusätzlich verschoben werden. Und genau diesen Stützvektor sollst Du noch "ausrechnen". Ehrlich: Da gibt es nicht mehr viel zu rechnen. Überleg mal ganz scharf, welche Formulierung Dir eine Gerade beschreibt, die durch den Punkt P verläuft. Du bist nahe dran. 

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  Anfangspunkt ist S ; jetzt der Richtungsvektor t . Stell dir mal eine zu der Ebene -e parallele EbenenSCHARF von ===> Äquipotenzialflächen vor

    E  =  E  (  x  ;  y  ;  z  )  =  -  3  x  -  4  y  +  2  z  =  const  =  c   (  1  )

   ( Den ggt = 7 habe ich mit in die Konstante gezogen. ) Wie du ja aus Erdkäs weißt, gibt dir der ===> Gradient eines Höhenlinienprofils immer die Richtung des steilsten Anstiegs und steht gleichzeitig senkrecht auf den Höhwnlinien. Dies gilt auch für  Äquipotenzialflächen im Raum:

    grad  (  E  )  =  ( dE/dx  |  dE/dy  |  dE/dz  )  =  (  -  3  |  -  4  |  2  )     (  2  )

   Der Gradient stellt also deinen richtungsvektor dar.

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h =, (8,9,0) + t(-21,-28,14)

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