Schwierige Gleichung "Torwächter"?
Ich komme leider bei einer wichtigen Hausaufgabe nicht weiter. Ich soll eine Gleichung/Term zu diesem Text aufstellen. Sie muss wirklich stimmen!
Ich hoffe auf euere Hile:
Jemand ging in den Obstgarten,in dem sieben Tore waren. Er bekam dort eine bestimmte Anzahl Äpfel. Als er hinausgehen wollte, musste er dem ersten Wächter die Hälfte aller Äpfel geben und einen noch dazu. Die zweiten ebenso die Hälfte der restlichen Äpfel und einen noch dazu. So gab er auch den restlichen Wächtern dasselbe - immer die Hälfte der restlichen Äpfel und einen dazu. Schließlich hatte er nur noch einen Apfel.
Im Rückwärtsschluss sollte die Gleichung leichter aufzustellen/lösen sein aber ich komme nicht darauf. Die Hausaufgabe wird benotet.
Ich bräuchte bis spätestens Freitag Antworten.
======== EDIT ============ Also ich habe rückwärtsdenkend folgenden Schluss rausbekommen:
(1+1)·2 =4 (4+ 1)·2 =10 (10+ 1)·2 =22 (22+ 1)·2 =46 (46+ 1)·2 =94 (94+ 1)·2 =190 (190+ 1)·2 =382
Als er das 7. Tor passiert hatte, hatte er noch einen Apfel, daher musste er zuvor noch (1+1)·2 =4 Äpfel gehabt haben.
============ Wie formuliere ich das jetzt in eine Gleichung um ?
2 Antworten
Hi,
deine Rechnung stimmt soweit. Ich empfehle dir mit einer Folge zu arbeiten, einem Startwert a_0 und einer rekursiven Vorschrift (a_n+1 = a_n /2 -1), um von dem einen Wert auf den nächsten zu kommen. a_0 gibt dabei die Anzahl der Äpfel zu Beginn an, also vor dem ersten Tor. a_1 nach dem ersten Tor und so weiter... ;)
Auf diese Art und Weise kannst du die Gleichung schon mal erklären, jetzt kommt der kniffligere Teil, die explizite Gleichung.
Aber kein Problem ohne Lösung! Geh das Ganze am besten schrittweise an, sprich wie kommt man von a_0 auf a_1? Und wie von a_1 auf a_2. Jetzt fasst du das als größeren Schritt zusammen, sprich von a_0 zu a_2. Auf die Art und Weise lässt sich leicht ein Muster erkennen:
a_0 = 382
a_1 = a_0 / 2 -1
a_2 = a_1 / 2 -1 <=> [a_0 /2 - 1] / 2 -1 <=> a_0 / 4 -1 /2 - 1
Oder allgemeiner formuliert: a_n = a_0 / 2^n - 1/2^(n-1) - 1/2^(n-2) - ... - 1
Da hier wahrscheinlich nicht den allgemeinen Fall behandeln wollt, sondern nur nach den 7 Toren, d.h. für n=7:
a_7 = a_0/2^7 - 1/64 - 1/32 - 1/16 - 1/8 - 1/4 - 1/2 - 1 <=> a_0 / 128 - 127/64 <=> (a_0 -254)/128
Solltet ihr Folgen o.Ä. noch nicht behandelt haben einfach trotzdem versuchen so zu begründen nur ohne die Fachbegriffe ;)
Die Gleichung lässt sich auch nachweisen, in dem man das jeweils schrittweise vereinfacht. ;)
Wenn du noch Fragen dazu hast schreib am besten einfach kurz einen Kommentar unter den Beitrag. ;)
LG
Chemiefuchs :)
Hi,
klar ;)
((((((382/2 -1)/2 -1)/2 -1)/2 - 1)/2 -1)/2 - 1)/2 - 1
So, jetzt einfach außen anfangen und die Klammern einzeln auflösen:
((((((382/2 -1)/2 -1)/2 -1)/2 - 1)/2 -1)/2 - 1)/2 - 1
<=> (((((382/2 -1)/2 -1)/2 -1)/2 - 1)/2 -1)/4 - 1/2 - 1
<=> ((((382/2 -1)/2 -1)/2 -1)/2 - 1)/8 -1/4 - 1/2 - 1
<=> (((382/2 -1)/2 -1)/2 -1)/16 - 1/8 -1/4 - 1/2 - 1
<=> ((382/2 -1)/2 -1)/32 -1/16 - 1/8 -1/4 - 1/2 - 1
<=> (382/2 -1)/64 -1/32 -1/16 - 1/8 -1/4 - 1/2 - 1
<=> 382/128 -1/64 -1/32 -1/16 - 1/8 -1/4 - 1/2 - 1
Jetzt einfach sämtliche Brüche auf den Nenner 128 erweitern (wenn nötig):
382/128 -1/64 -1/32 -1/16 - 1/8 -1/4 - 1/2 - 1
<=> 382/128 -2/128 -4/128 -8/128 - 16/128 -32/128 - 64/128 - 128/128
Jetzt noch alles zusammenziehen:
=> (382 - 254)/128
Die 382 entsprechen dem Startwert an Äpfeln. Wenn du möchtest kannst du auf die Art und Weise ganz allgemein in einem Schritt auch die Anzahl an Äpfeln zu Beginn ausrechnen. Einfach die 382 durch eine beliebige Variable ersetzen, die du ausrechnen möchtest.
Die erhaltene Gleichung gibt ja nun an, wie viele Äpfel du am Ende hast bei einem beliebigen Startwert (Dazu einfach die 382 entsprechend ersetzen ;)). Daraus folgt:
(n_Äpfel[zu Beginn] - 254)/128 = 1 |*128
<=> n_Äpfel[zu Beginn] - 254 = 128 |+254
<=> n_Äpfel[zu Beginn] = 382
So, fertig! :)
Wenn dieser Jemand das x-te Tor passieren will, muss er von
seinen Äpfeln aₓ abgeben: aₓ / 2 + 1
Nenne ich die Anzahl der Äpfel, die er bis vor das nächste Tor trägt aₓ₊₁, gilt
aₓ₊₁ = aₓ - (aₓ /2 + 1) | Klammer auflösen
aₓ₊₁ = aₓ /2 - 1
Ich vertausche die Seiten, um aₓ nach links zu bekommen:
aₓ /2 - 1 = aₓ₊₁ |+1
aₓ /2 = aₓ₊₁ + 1 | *2
aₓ = 2aₓ₊₁ + 2
Das ist jetzt so angelegt wie bei dir, aber allgemeiner:
Wenn er am 7. Tor vorbei ist, ist a₈ = 1, der restliche Apfel
a₇ = 2a₈ + 2
a₆ = 2a₇ + 2
a₅ = 2a₆ + 2
bis zum Stand vor dem 1. Tor, das ist der Anfangsbestand
a₂ = 2a₃ + 2
a₁ = 2a₂ + 2
Das wickle ich von der anderen Seite wieder auf:
a₁ = 2(2a₃ + 2) + 2
= 4a₃ + 4 + 2
= 4a₃ + 6 und weiter
= 4(2a₄ + 2) + 6
= 8a₄ + 14
... ...
a1 = 64 (2a₈ + 2) + 126
= 128a₈ + 128 + 126
= 128a₈ + 254
a₈ = 1 wie wir oben festgestellt haben, daher
a₁ = 128 + 254
a₁ = 382 Äpfel
Die Formel wäre mächtig genug, auch für andere Anzahlen von Restäpfeln die Anfangszahl zu liefern.
Wirklich schön erklärt,danke!
Leider haben wir bloß Lineare Gleichungen und Gleichungen mit Brüchen ohne Werte a_1 oder ähnlichem gemacht^^...
Kannst du diese Aufgabe vielleicht in einen einzelnen langen Term zusammenfassen ?
Z.b x mal x mal x mal 2 plus 3
Vielen Dank im Vorraus