Quadrat in einem Rechteck, möglichst klein?
Hallo :)
Ich habe eine Frage bezüglich einer freiwilligen Matheaufgabe:
Es gibt ein Rechteck ABCD mit dem Punkt P auf AB, Q auf CB, R auf CD und S auf AD.
Diese Punkte sollen ein Viereck mit dem kleinst möglichen Umfang bilden und die Frage ist, wie/wo sie dann liegen müssten.
Mein Ansatz:
Theoretisch müssten sie in der Mitte jeder Strecke liegen, sodass sich ein Quadrat bildet.
Dafür müsste man (glaube ich) die Extremstelle (Minimum) berechnen.
Ich habe nur leider keine Ahnung wie genau ich das mathemstidch korrekt aufschreiben muss und bitte daher hier um Hilfe.
2 Antworten
Naja, in diesem Fall hättest du ja als Umfang genau 4*sqrt(((AB)/2)² + ((AB)/2)²). Umgeformt 2*sqrt(2)*AB.
Wenn man sich nun das Viereck anschaut, das eigentlich genau das Gegenteil darstellt, also quasi nur eine doppelte Diagonale ist, dann kommen wir auf 2*sqrt((AB)² + (AB)²). Umgeformt auch 2*sqrt(2)*AB.
Hier einmal als Grafik, deine Idee in rot, die zweite in grün, dann siehst du vermutlich, wie man da Pythagoras Theorem anwenden kann:
Vielleicht erkennst du schon, was das im Allgemeinen bedeutet, wenn beide ganz gegensätzliche Ideen genau das gleiche Ergebnis haben?
Für einen vollständigen Beweis müsstest du dann eine Distanz x von AB abziehen, um so beliebige Vierecke zu berechnen.
x wäre in den beiden Extremfällen: Fall grün gleich 0 und im Fall rot gleich AB/2. Indem du bei der Berechnung des Umfangs (wieder über Dreiecke), die Variable x einfach stehen lässt, kannst du zeigen, dass diese überhaupt gar nicht relevant ist/sich kürzen lässt.
Das ist alles nicht recht stimmig.
Aber wahrscheinlich hast Du nur gelegentlich Quadrat und Rechteck verwechselt. (Klar, ein Quadrat ist auch ein Rechteck, also Rechteck soll im Sinne von kein Quadrat sein)
Rechteck ABCD
Theoretisch müssten sie in der Mitte jeder Strecke liegen, sodass sich ein Quadrat bildet.
Liegen PQRS in der Mitte der Seiten eines Rechtecks, dann bilden sie eine Raute und kein Quadrat. Du bekommst niemals durch PQRS ein Quadrat hin.
Lies noch mal deinen Text durch. Die Überschrift ist völlig abweichend vom Inhalt. Dort steht "Rechteck in einem Quadrat" im Text sprichst du von Quadrat in einem Rechteck. Ich habe erklärt, dass es eine Raute wäre.
Aber was ist tatsächlich deine Aufgabe?
Oh, das ist mir gar nicht aufgefallen, das Quadrat im rechteck ist richtig - hab die Überschrift geändert
Ah stimmt, wäre dann die Raute rrotzdem der kleinst mögliche Umfang dieses Vierecks innerhalb des Rechtecks?