Quantenverschränkung: wo ist mein Brett vor dem Kopf?
Angenommen ich habe den verschränkten Zustand |Ψ> der Qubits A, B , mit den Räumen
H(A)={|0>, |1>},
H(B)={|u>, |v>}
|Ψ> = |0u> + |1v>
Der Dichteoperator von (A,B) ist somit (ich lasse alle Normierungsfaktoren weg!)
ρ(A,B) = |Ψ><Ψ| = |0u><0u| + |1v><0u| + |0u><1v|+ |1v><0u| + |1v><1v|
Der reduzierte Dichteoperator ρ(B) ergibt sich durch Spurbildung über die Zustände A:
ρ(B) = ... = |u><u| + |v><v|
(Stimmt das? Ich komme immer wieder auf das)
Dieser beschreibt die Information, die B über sein Teilsystem hat.
Nun soll A aber eine Messung an einem Teilsystem durchführen und beispielsweise durch das Ergebnis 0 den Zustand auf |Ψ>'=|0u> reduzieren. Nach der Messung ist der neue gesamte Dichteoperator
ρ' = |Ψ'><Ψ'| = |0u><0u|
Der neue reduzierte Dichteoperator ρ'(B) ist dann (ich lasse Einheitsoperatoren weg)
ρ'(B) = ... = <0|0u><0u|0> + <1|0u><0u|1> = <0|0u><0u|0> = |u><u|
(Stimmt das? Ich komme auch hier immer wieder auf das)
Irgendwo muss aber ein Fehler in der Überlegung sein, denn A und B können beliebig weit entfernt sein und B kann ja nicht mitbekommen, ob A eine Messung gemacht hat oder nicht. Für ihn hat sich aber die Kenntnis über sein Teilsystem verändert (ρ'(B) <> ρ(B)). Das wäre ja eine Verletzung des No-Communication-Theorems, wonach Operationen an einem Teilsystem nicht durch das andere Teilsystem festgestellt werden können. Das wäre ja Spooky Action at a Distance.
Wo ist mein Denkfehler? Ich vermute, ich habe ρ'(B) falsch angegangen, habe aber ein Brett vor dem Kopf.
2 Antworten
Ja, dein Rechenweg ist korrekt: Nach der Messung von AAA ändert sich ρ(B)\rho(B)ρ(B). Aber: B kann das nicht feststellen. Seine Messergebnisse bleiben zufällig verteilt, unabhängig davon, ob A gemessen hat oder nicht. Deshalb gibt es keine Möglichkeit, Information über die Messung von A zu übertragen – das No-Communication-Theorem bleibt erhalten.
Genau! Der durch die Messung an A veränderte Zustand setzt voraus, dass du das Messergebnis kennst. Solange A das Ergebnis nicht klassisch an B übermittelt, muss B die gemischte Dichtematrix betrachten, die sich dadurch nicht verändert. Daher kann B keine Informationen über die Messung von A erhalten, womit das No-Communication-Theorem weiterhin gilt.
Dann ist es strengenommen falsch, wenn man sagt
"die reduzierte Dichtematrix/operator beschreibt vollständig die Kenntnis von B über sein Teilsystem".
Denn du sagst ja selbst, dass die Änderung ρ(B) -> ρ'(B) nicht mitbekommt. Dann hat er aber auch keine "Kenntnis" darüber.
Müsste man nicht richtigerweise einfach sagen:
"die reduzierte Dichtematrix beschreibt vollständig den Zustand des Systems aus der Sicht von B"
Das ist jetzt vielleicht spitzfindig, aber es war der Grund für meine Verwirrung.
Deine alternative Formulierung:
"Die reduzierte Dichtematrix beschreibt vollständig den Zustand des Systems aus der Sicht von B."
ist präziser, weil sie klarstellt, dass B nichts über den globalen Zustand wissen kann, sondern nur über die Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte von Messungen, die innerhalb seines Subsystems durchgeführt werden können. Das entspricht genau der Information, die in der reduzierten Dichtematrix enthalten ist. Falls du es noch exakter machen möchtest, könnte man sagen: "Die reduzierte Dichtematrix beschreibt alle Messstatistiken, die in B bestimmt werden können." Dies betont explizit, dass sich die Dichtematrix nur auf zugängliche Messwerte bezieht, ohne eine problematische Interpretation von "Kenntnis" oder "Sichtweise".
Ja, das ist die Nichtlokalität der Quantentheorie: Der Kollaps der Wellenfunktion erfolgt instantan und ist nichts, das sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet.
Nur darf ich den kollabierten Dichteoperatur nur dann verwenden, wenn ich schon weiß, was bei A rausgekommen ist. Ich glaube, das war mein Fehler. Siehe andere Antwort.
Danke für die Antwort. Ganz verstehe ich das nicht:
ja, wenn A eine 0 gemessen hat, kann für diesen Fall B nur noch u messen.
Da B aber nicht weiß, was A gemessen hat, ändert sich in der statistischen Verteilung über mehrere Messungen nichts.
Nun dachte ich aber, dass der reduzierte Dichteoperator die Kenntnis des Teil-Systems vollständig beschreibt. Da sich dieser ja - wie du bestätigst - ändert, hat sich die Kenntnis von B über sein Teilsystem ja ebenfalls geändert. Wie passt dies aber nun zusammen, wenn B diese Änderung nicht feststellen kann.
Mir ist klar, dass ich hier eigentlich keine Statistik über mehrere Messungen beschreiben kann, da ich ja die Wahrscheinlichkeiten außer Acht lasse, ob A 0 oder 1 misst.
Heißt das nun, ich kann zwar den reduzierten Dichteoprator verwenden, darf aber nicht den durch Messung an A reduzierten Zustand verwenden, da dieser ja schon das Ergebnis von A vorwegnimmt? Dies darf ich nur tun, wenn mir über einen klassischen Kanal das Ergebnis der Messung an A kommuniziert wird - richtig? Möglicherweise war das mein Denkfehler...