Prädikatenlogik--> Deutsch: KgV Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Hallo zusammen,
ich brauche Hilfe beim Verständnis der Pradikatenlogik. Um ein anschauliches Beispiel herbeizuschaffen, habe ich in Wikipedia zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen folgenden Ausdruck gefunden:
v = kgV (a,b) : <==> a | v, b | v, -/ e € R : ( a | e, b | e ) => v | e
- -/ soll das umgedrehte A sein
- Das Eurozeichen "Element" (großes, rundes E mit nur einem Strich)
- e das kleine "Schreibschrift- e".
Ich kann das nur in etwa so "übersetzen":
- v = kgV(a,b) heißt: Die Zahl v ist das kleinste gemeinsame Vielfache aus a und b
- : <==> und setzt sich zu sammen aus
- a | v heißt : "a ist die zahl v" oder was ist a?
- b | v heißt : "b ist die zahl v" oder was ist b?
- -/ e € R : heißt "Alle e (Ergebnisse??) sind in den reellen Zahlen enthalten"
- (a | e, b | e) heißt: "a ist e und b ist e, also Ergebnis (das gleiche Ergebnis)
- => v | e heißt "Vielfaches ist e (also das Ergebnis)
So in etwa? Kann man das nicht noch besser übersetzen? Und eine ganz wichtige Frage: Wie kommt man auf sowas?
Muss ich jede Variable einzeln definieren? seufzt Es ist so kompliziert?
Liebe Grüße Anita
1 Antwort
Nicht kompliziert, sondern aufwändig. In formaler Logik geht es aber JA genau darum, sich wegen der Komplexität von Aussagen zu erkundigen.
- v=kgV(a,b) :<==> a|v & b|v & ~(∃e∈Z : ((a|e & b|e) —> v|e))
Hallo! Danke für deine Antwort!
Mein Problem ist, ich habe Schwierigkeiten, die Struktur von Prädikatenlogik zu verstehen.
Mit was fange ich an, wenn es z.B. heißt: "Über den Individuenbereich N seien die beiden zweistelligen Prädikate
- V(a,b) = "a ist Vielfaches von b" und
- K(a,b) = "a ist kleiner oder gleich b"
gegeben. Formulieren Sie hiermit eine prädikatenlogische Formel, die die Vielfachen von 8, die kleiner sind als 100 definiert."
Ich "kreiere" also eine Zahl v für "vielfaches".
Ich verwende V(a,b), um darzustellen, dass v (also a) Vielfaches von 8 (also b) sein soll, also V(v,8)? Ersetze ich einfach a und b durch meine Werte?
Entsprechend: Meine gesuchte Zahl v soll kleiner sein als 100. Hier muss v duch K(a,b) ausgedrückt werden. Heißt das dann K(v,100) (weil ja a=v und b=100) oder wie?
Und die zwei Ausdrücke verbinde ich mit einem &.
Wenn da das Ergebnis für mindestens eine Lösung gilt, schreibe ich dann ein umgedrehtes E davor, also
v<==>Ev (V(v,8)&K(v,100))?
Brauche ich hier überhaupt einen Quantor?
Liebe Grüße Anita
Das sind gute Fragen und es scheint, du setzt dich schon mit dem Stoff auseinander, um ihn zu verstehen. Gute Mühe!
„Formulieren Sie hiermit eine prädikatenlogische Formel, die die Vielfachen von 8, die kleiner sind als 100 definiert."
Deine Lösung ist bis auf den Quantor richtig. Gesucht wird eine Formel P(·) mit einer freien Variablen, damit in der Struktur M=(N; istVielfach; istkleinergleich) als Interpretation der Sprache {V; K} gilt {n in N | M|=P(n)} = {n in N | 8|n und n≤100}.
Die Formel P(v) :<==> V(v, 8) & K(v, 100) erfüllt diesen Zweck.
Weiter so!
Man verwendet Quantifikatoren/Quantoren, wenn was Allgemeines zum Ausdruck gebracht werden muss. Z. B.
- Jede ungerade Primzahl lässt sich als summe zwei gerader Zahlen schreiben
- <==> ALLE x : [(PRIM(x) & ~GER(x)) ==> EXISTIERT y : EXISTIERi T z : (GER(y) & GER(z) & PLUS(x,y,z)]
wobei PRIM(x) <==> ALLE y : [TEILT(y, x) ==> (y=x V y=1)] und GER(y) <==> TEILT(2,y) und PLUS(x,y,z) <==> (x=y+z).
Wie viel man noch enkodieren muss hängt von den Ressourcen der jeweiligen Sprache ab — manchmal muss man sehr sparsam sein und alles definieren, manchmal verfügt man über mehr. Quantoren helfen, über abstrakte Allgemeinheiten zu reden, was man ebenfalls in dieser Formel erfährt: innerhalb ALLE x handelt es sich nur um eine Eigenschaft von x, aber trotzdem müssen weitere Variablen eingeführt werden, um darüber reden zu können.
P.S: sorry, dass ich mich oben so streng ausgedrückt hatte. Ich sehe jetzt, du bist nicht einer, der halt Fragen stellt, ohne erst selber einen ordentlichen Versuch zu machen.
Hallo :) Danke, da bin ich aber echt froh! Das mit dem Gebrauch von Quantoren habe ich jetzt auch verstanden!
Du schreibst:
Gesucht wird eine Formel P(·)
Nennt man die Formel immer P?
Und wenn du mir jetzt bitte noch verraten könntest, was
{n in N | M|=P(n)} = {n in N | 8|n und n≤100}
bedeutet? Dein "n" ist doch mein "v", oder?
Wie übersetzt man "n in N | M|" auf deutsch? n in N kann ich mir erklären, aber was hat es mit dem |M| auf sich? Was ist M, und warum ist M "umrahmt" von |.|?
Und dann weiter: Es steht "8|n", aber "n≤100". Dieses Symbol | irritiert mich auch hier. Warum heißt es nicht entsprechend "n|≤100"? Oder aber andersherum, warum heißt es nicht entsprechend "8=n"?
1000 Dank für deine Mühe und Geduld! LG Anita
Nennt man die Formel immer P?
Nee. Ich wollte nur da eine fixierte Bezeichnung erstellen. Man verwenden tatsächlich normalerweise große griechische Buchstaben. Aber nichts ist nötig. Hauptsache, man braucht irge ndeinen Bezug.
Und wenn du mir jetzt bitte noch verraten könntest, was {n in N | M|=P(n)} = {n in N | 8|n und n≤100} bedeutet? Dein "n" ist doch mein "v", oder?
Ja. Wiederum: Welchen Buchstaben man verwendet, ist egal. Hauptsache, die Bezeichnung bleibt im Laufe des Gebrauchs fixiert. Man könnte beispielsweise im Deutschen alle Rs durch Ps und alle Ps durch ∏s ersetzen. Das würde nichts ändern: wir würden einander immer noch verstehen. Die Schreibweise
- {n in N | M |= P(n)}
- oder {n ∈ N : M |= P(n)}
- oder {n ∈ N : Pᴹ(n)}
könnte man so verstehen: „Die Menge aller Objekten in N, die bzgl. der Struktur M Eigenschaft P aufweisen/erfüllen.“ Sorry wegen der Striche — die sind etwa verwirrend. Die beiden gehören nicht zu dem M. Der eine bedeutet „so dass“/Anfang des relativen Satzes in der Menge {… | …}. Der andere, |=, bezeichnet in Logik/Modelltheorie „ist wahr in“, z. B.:
- ([0; ∞); ·) |= ALLE x : EXISTIERT y : (y·y = x)
- aber (N; ·) |=/= ALLE x : EXISTIERT y : (y·y = x)
Und dann weiter: Es steht "8|n", aber "n≤100". Dieses Symbol | irritiert mich auch hier. Warum heißt es nicht entsprechend "n|≤100"? Oder aber andersherum, warum heißt es nicht entsprechend "8=n"?
Bin mir nicht sicher, was du mit dem letzten Satz meinst.
vG
Danke :)
Es hat sich mir alles erschlossen aus der ausfühlichen Antwort :)
Vielen Lieben Dank dafür, du einziger Mensch auf GF, der sich mit Prädikatenlogik auszukennt!
Sorry
v=kgV(a,b) :<==> v∈N & a|v & b|v & (∀e∈Z : ((a|e & b|e) —> v|e))
Was wäre denn menschlich gesehen schwierig daran? Diese Formel ist nichts. Gewöhne dich halt an die formale Sprache!