Physik - Momentangeschwindigkeit?

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4 Antworten

Die Geschwindigkeit ist die Veränderung der räumlichen Position pro Zeiteinheit und ist eigentlich eine so genannte Vektorgröße, d.h. eine Größe mit Richtung. 

Die Durchschnittsgeschwindigkeit während einer Zeitspanne Δt wird im dreidimensionalen Raum geschrieben als

(1.1) v⃗_[mittel] = (v₁; v₂; v₃) = (Δx; Δy; Δz)/Δt,

oder, in 1D

(1.2) v_[x, mittel] = Δx/Δt,

oder rein betragsmäßig

(1.3) |v⃗_[mittel]| = Δs/Δt,

wobei Δs die Weglänge in der Zeitspanne Δt ist.

Die Momentangeschwindigkeit erhält man dadurch, dass man Δt immer kleiner macht und die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet, die sich im Zweifelsfall bei weiterer Verkleinerung von Δt immer weniger ändern sollte. Geschrieben wird dies (in 1D)

(2) v_x = lim_[Δt→0] Δx/Δt =: dx/dt.

In einem x-t-Diagramm wird die Durchschnittsgeschwindigkeit in einem Intervall zwischen einem Zeitpunkt t₀ und t₀ + Δt als Steigung einer Sekante durch (t₀, x(t₀)) und (t₀ + Δt, x(t₀ + Δt)) dargestellt, die Momentangeschwindigkeit in t₀ als Steigung einer Tangente am Graphen im Punkt t₀, x(t₀).

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Kommentar von ProfiAnswer
13.09.2016, 20:10

Danke für die schnelle Antwort... das Problem ist, dass ich erst in der 8. Klasse bin und noch nicht weiß, was z.B Tangenten oder die Formeln bedeuten. Könntest du mir vllt. nochmal die Formeln, bzw

(1.1) v⃗_[mittel] = (v₁; v₂; v₃) = (Δx; Δy; Δz)/Δt usw.

und 1D erklären? Danke trotzdem!

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Kommentar von SlowPhil
13.09.2016, 22:23

1D heißt »eine Dimension« im Sinne von »eine Richtung«, nennen wir sie x, sodass eine Zahl ausreicht, um die Position auszudrücken, auf die es uns ankommt.

Im gewöhnlichen Raum gibt es deren 3, oft x, y und z genannt. Mit einem Punkt, der als Referenzpunkt dient und Ursprung heißt und 3 reelle Zahlen (mit Maßeinheit, z.B. Meter), den sog. Koordinaten, kannst Du die Position eines Punktes im Raum beschreiben. Negative Zahlen kommen natürlich auch vor, denn geht die x-Achse nach rechts, bedeutet etwa x =-5m, dass der Punkt 5 Meter links vom Ursprung liegt.

Um eine Geschwindigkeit vollständig zu beschreiben, brauchst Du ebenfalls 3 reelle Zahlen, die ich hier v₁ (Geschwindigkeit in x-Richtung), v₂ (Geschwindigkeit in y-Richtung) und v₃ (Geschwindigkeit in z-Richtung) genannt habe.

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Kommentar von SlowPhil
13.09.2016, 22:31

Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Kurve schneidet, etwa die x-t- bzw. s-t-Kurve in einem entsprechenden Diagramm. Liegen die Punkte so eng aneinander, dass sie auf einen Punkt zusammenfallen, so berührt die Gerade nur noch in diesem Punkt und heißt Tangente (von lat.: »die Berührende«).

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Hallo ProfiAnswer,

meinst Du solche Diagramme?

http://www.leifiphysik.de/mechanik/lineare-bewegung-gleichungen/zeit-geschwindigkeits-diagramm

Das obere ist ein "t-s"-Diagramm. Auf der Webseite heißt es "t-x". Das ist aber dasselbe.

In der Physik musst Du Dir immer zuerst klar machen, von welchen Messgrößen eigentlich die Rede ist.

t steht für die Zeit. Die ist in dem Diagramm auf der waagrechten Achse, also nach rechts aufgetragen.

s oder x sind der Weg, den ein bewegtes Objekt zurückgelegt hat. Dieser Weg ist nach oben auf der senkrechten Achse aufgetragen

Das bedeutet: Wenn die Zeit vergeht (nach 1 Sekunde, nach 2 Sekunden,...) schaut der Experimentator nach "wo ist das Auto denn gerade?" und diesen Messpunkt für den Weg trägt er dann bei der entsprechenden Uhrzeit ein.

Nach 1 Sekunde könnte das Auto z.B. 2 Meter weit gekommen sein. Da malst Du einen Punkt in das Diagramm (t=1s, s=2m);

Nach 2 Sekunde könnte das Auto dann  z.B. 4 Meter weit gekommen sein. -> Nächster Messpunkt wird eingetragen...

Usw. Eine Bewegung mit einer konstanten Geschwindigkeit gibt in so einem Diagramm lauter Messpunkte, die auf einer Geraden liegen. Die Steigung der Geraden ist die Geschwindigkeit.

In so einem Diagramm könntest Du den "Momentanort" bei t=6,5 s also dadurch ablesen, dass Du Deine Gerade anschaust und den Ort (also den Wert auf der senkrechten Achse) für t=6,5 Sekunden.

Möchtest Du die Momentangeschwindigkeit bei sich ändernden Geschwindigkeiten, brauchst Du ein v-t-Diagramm, bei dem die Geschwindigkeit gegen die Zeit aufgetragen ist. Bei einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit hast Du da einfach eine waagrechte Gerade - bei allen Zeiten dieselbe Geschwindigkeit. Bei konstanter Beschleunigung hast Du aber im a-t-Diagramm eine ansteigende Gerade. Und bei der liest Du dann einfach für die gegebene Zeit den Wert ab.

Ungefähr klar?

Wirklich wichtig ist vor allem bei solchen Aufgaben, die Messgrößen nicht durcheinander zu bringen...

Grüße

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Kommentar von SlowPhil
13.09.2016, 22:35

Mir ist nicht ganz klar, ob nicht mit s immer der gesamte Weg gemeint ist, der seit t=0 zurückgelegt wurde. Bei x bin ich mir ziemlich sicher, dass damit eine eindimensionale Position gemeint ist, sodass Δx auch negativ sein kann.

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v(t) = s'(t)

Geschwindigkeit ist Ableitung des Ortes nach der Zeit

Damit ist die Geschwindigkeit gleich der Steigung des t-s-Diagramms.

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Im t-v-Diagramm kann man die Geschwindigkeit direkt ablesen.

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a(t) = v'(t)

Beschleunigung ist Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit

Damit ist umgekehrt die Geschwindigkeit "Stammfunktion" bzw. "Integralfunktion" von a bzgl. t

Damit ist die Geschwindigkeit gleich der Fläche unter der Kurve im t-a-Diagramm. Begrenzung nach unten ist die x-Achse, Begrenzungen nach links und nach rechts sind die senkrechten Geraden bei t₀ (Anfangszeit) und t (aktuelle Zeit)

Beachte noch, dass Flächen unterhalb der x-Achse negativ zählen.

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Die allgemeine Formel für die Momentangeschwindigkeit (d.h. die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt, in deinem Fall von t = 6,5s) lautet v(t) = a*t + v0 (siehe Bild unten)

Jetzt musst du nur noch bei deinem Diagramm nachschauen, wie groß die Beschleunigung a zum Zeitpunkt t = 6,5 Sekunden ist und dann einfach in die Momentangeschwindigkeit-Formel einsetzen.

Hoffe, konnte dir helfen^^

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