Nullstellen von e Funktionen berechnen?
Kann jemand die Aufgabe lösen mit Erklärung?
Danke schonmal
3 Antworten
(a) Exp(a^2 x) - Exp(a) = 0, also Exp(a^2 x) = Exp(a), wegen der Injektivität von Exp:
a^2 x = a, also x = 1/a für a ungleich 0; für a = 0 ist die konstante Funktion f = 0.
(b)
(i) Exp(x^2 + 1) = Exp(4x), wegen der Injektivität von Exp:
x^2 + 1 = 4x, also x^2 - 4x + 1 = 0, x_1/2 = 2 +/- Sqrt(3)
(ii) 3^x = 4 Exp(2x), also Exp(Log(3) x) = Exp(Log(4) + 2x), mit Injektivität von Exp
Log(3) x = 2 Log(2) + 2x, also x = 2 Log(2) / (Log(3) - 2)
Mathematiker benutzen Log, ln wird nur in der Schule benutzt; abgesehen davon, gibt es ja bis auf Vielfache ohnehin nur einen Logarithmus…
Wir haben hier ganz klar mit einer Schulaufgabe zu tun. Deswegen ist's einfacher mit ln, wie sie es auch gelernt haben.( in der Schule.)
Ich bin Mathematiker und verwende keinen Schuljargon. Diejenigen, denen das zu hoch erscheint, können ja meine Antwort überspringen…
ja, aber deine Antwort musst du anpassen und nicht mit dem Mathematiker-Sein angeben.
Ich MUSS nur zwei Dinge: Steuern zahlen und sterben - und von Leuten mit mathematischem Schulwissen MUSS ich mir sicherlich nicht erklären lassen, wie ich als Mathematiker mathematische Fragen beantworten MUSS…
Beruhige dich ein wenig – es war nur eine kleine Anmerkung von mir. Du weißt schließlich nicht, ob ich lediglich Schulwissen in Mathematik habe oder darüber hinaus. Ich wünsche dir weiterhin alles Gute und viel Gesundheit im Leben.
Das sind ja schon mal drei Aufgaben, nicht eine! (Ein nicht unerhebliches Detail im Fach Mathe! 😉
Die Teilaufgabe a) sieht wild aus, aber im Grunde genommen kommt x doch nur an einer Stelle vor, insofern kannst du die sehr einfach mit Hilfe des Logarithmus lösen:
Jetzt kann man auf der linken Seite ans x ran, wenn du den ln "anlegst":
Der Rest ist geradezu trivial:
Du hättest in der zweiten Zeile natürlich auch gleich sagen können, dass die beiden Seiten dann gleich sind, wenn die Exponenten gleich sind und so direkt die Gleichung a²x=a bekommen.
[Ergänzung: Ich sehe, dass andere auf den Fall a=0 hingewiesen haben. Ich habe das nicht extra erwähnt, weil in diesem Fall die ursprüngliche Funktion ja auf f(x)=0 zusammenfällt und so für alle x ∈ |D eine Nullstelle vorliegt.
Daher ist mathematisch gesehen nur der Fall a≠0 von weiterem Interesse.]
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Bei Teilaufgabe b) i) kannst du analog argumentieren: Die beiden Seiten sind dann gleich, wenn die Exponenten gleich sind.
So ergibt sich direkt die quadratische Gleichung:
Diese kannst du mit den bekannten Mitteln lösen.
Alternativ kannst du, wie in Teilaufgabe a) gezeigt, auf beiden Seiten den ln anwenden und erhälst auch so dieselbe quadratische Gleichung.
Und auch bei Teil-Teilaufgabe b) ii) kommst du der Lösung nahe, wenn du einfach auf beide Seiten den Logarithmus anwendest:
Die Logarithmusregeln machen daraus eine sehr überschaubare lineare Gleichung:
f(x)=e^(a^2 * x) -e^a
Nullstellen berechnen
f(x)=0
e^(a^2 * x) -e^a=0
<=> e^(a^2*x)=e^a
man kan mit ln (..) e auflösen { da kommt alles was oben im Exponenten war nach unten und e verschwindet->
a^2*x=a | :a^2
x=a/a^2
dann musst du eine Fallunterscheidunf machen:
- für a ungleich 0 x= 1/a
-> die weiteren Aufgaben kannst du nach dem gleichen Schema lösen.
musst also wissen, dass ln(...) e auflöst!!
-> nutze ln, ist viel übersichtlicher