multiplikatives inverse?
Welche Elemente Z/12Z haben je ein multiplikatives inverses? Wie kann ich das begründen?
Welche Elemente in Z/12Z haben kein multiplikatives inverses?
2 Antworten
Z / 12Z dürfte der Z_12 sein, der Restklassenring modulo 12.
Gesucht sind also die Elemente von Z_12, die Teiler von 1 (Z_12) sind, oder gleichbedeutend die Zahlen aus {0, ..., 11}, die ein Vielfaches haben, das kongruent 1 modulo 12 ist.
Du kannst natürlich die komplette Multiplikationstabelle hinschreiben - das sind ja "nur" 144 Einträge (außer der Spalten- und Zeilenköpfe). Um auf die Lösung zu kommen, sollte man das für einen nicht allzu großen Z_n mal gemacht haben.
Für jedes k aus Z ist 12 k durch 12 teilbar, also kongruent 0 (mod 12). Für manche k ist ein früheres Vielfaches schon kongruent 0 / durch 12 teilbar, für andere nicht. Aber für welche?
Wenn wir die Vielfachen einer Zahl aus Z_12 aufschreiben und auf eine Zahl stoßen, die wir schon mal aufgeschrieben hatten, wiederholt sich ab hier die Reihe natürlich. Wenn wir also die vollen 12 Vielfachen brauchen, um wieder auf 0 (den Startwert) zu kommen, tritt jede der Zahlen des Z_12 einmal auf, insbesondere auch die 1.
Wenn umgekehrt nach j Schritten die 1 auftritt, tritt nach 2j Schritten die 3 auf, nach 3j Schritten die 3, ..., nach 11j Schritzen die 11 und nach 12j Schritten wieder die 0. Also tritt hier jedes Element des Z_12 als Vielfaches auf.
Kommst du jetzt darauf, für welche k aus Z_12 wir nicht alle Elemente des Z_12 als Vielfache erhalten?
Du kennst die Elemente in 12Z {0,..,11}
Du weißt, dass ggt(Element, 12) = 1 sein muss.
Rest ist bisschen denken.