Monotonie und Krümmung?
Hallo (: Ich habe ziemlich große Schwierigkeiten bei den Mathehausaufgaben... Ich habe bereits meine Klassenkameraden um einen Rat gebeten, jedoch haben diese es selbst nicht oder keine Lust mir zu helfen... Jedenfalls habe ich die Schule gewechselt und da ich jetzt in der Kursstufe bin wiederholen wir alles nur, dann ist mir aufgefallen, dass ich dieses Thema garnicht hatte. Könnte mir da jemand bei der Aufgabe 8 helfen (Bild)? Ich möchte es nur verstehen, wenn ich die Aufgabe gelöst vor mir habe und sie dann noch einmal selbst bearbeiten kann... Es wäre mir eine sehr große Hilfe, wenn man mir das Vorgehen der jeweiligen Teilaufgaben erläutert damit ich damit arbeiten kann... Vielen lieben Dank im voraus
2 Antworten
Die Ableitung einer Funktion gibt deren Steigung an. Die 2. Ableitung gibt demnach die Steigung der 1. Ableitung an. Für x<0 gilt f''(x)<0, d. h. in diesem Bereich ist die Steigung der 1. Ableitung negativ, d. h. sie fällt. Für x>0 ist die 2. Ableitung positiv, d. h. hier steigt die 1. Ableitung. Das heißt nun, dass a) falsch ist.
b) kann stimmen, muss aber nicht... vergleiche es einfach mit der 1. Ableitung einer Parabel, das ist sicher etwas anschaulicher. Die Ableitung von f(x)=1/2x² ist f'(x)=x (also die hier abgebildete Gerade) und alle Werte von f(x) sind größer-gleich Null; die Ableitung von f(x)=1/2x²-5 ist aber auch f'(x)=x, jedoch sind hier auch Funktionswerte f(x)<0 !.
c) für x>0 ist die Steigung von f' positiv und nimmt mit steigenden x-Werten stetig zu, d. h. bei gleicher Zunahme der x-Werte nehmen die y-Werte immer stärker zu, und das ergibt eine Linkskurve, also ist die Aussage richtig.
d) gleiche Argumentation wie bei c). für x>0 (sogar für ganz x) nimmt die Steigung von f' stetig zu, d. h. es geht auch hier auf dem Graphen linksherum.
a.) Nein, eine Funktion g(x) ist streng monoton wachsend, wenn g'(x) für alle x im Definitionsbereich definiert ist und g'(x)>0. Da es hier um f'(x) geht, müsste also f''(x)>0 sein, das ist aber für x<=0 nicht der Fall. Für monoton wachsend (ohne streng) geht das ganze analog mit g'(x)>=0.
b.) Lässt sich nicht beantworten. Die Stammfunktion von f''(x) ist f'(x) = 0.5x^2 + C mit C als belieber Konstante. Abhängig vom gewähltem C, kann man diese Aussage wahlweise erfüllen oder nicht [erfüllen mit Wahl C>=0].
c) Ja, da f"(x) > 0 für x>0
d) Ja, da f'''(x)=1>0