Mengenschreibweise von Ebene umwandeln?
Guten Tag,
wir haben zwei Ebenen in der Mengenschreibweise gegeben, also z.B. E1 = {x ∊ R³ | x1 - x3 = 3). So jetzt ist ein Normalenvektor gegeben, z.B. n1 = (1 0 -1) -> natürlich untereinander, ist ja ein Vektor. Wir sollen begründen, dass dies auch wirklich der Normalenvektor der Ebene ist. Nun weiß ich ja, dass dies der Fall ist, wenn das Skalarprodukt von Ebene und Vektor 0 ergibt. Wie aber bekomme ich jetzt aus der Mengenschreibweise der Ebene einen Vektor, mit dem ich dies berechnen kann?
Danke für jede Antwort.
MfG John R. Kohlmeier.
2 Antworten
Du kannst den Normalenvektor direkt aus der Ebenengleichung ablesen. Die jeweiligen Koeffizienten vor x1, x2 und x3 sind die Einträge des Normalenvektors, also 1, 0, -1.
Oder ist hier nach einer tatsächlichen Rechnung gefragt?
Dann könntest du bspw. den Normalenvektor mit den Spannvektoren der Ebene Skalar multiplizieren.
Vielen Dank, ihre Antwort hat mir sehr geholfen. Nein wir müssen keine Rechnung explizit angeben, aber vielen Dank, dass Sie mir diese trotzdem mit aufgeschrieben haben. :)
Möglichkeit 1:
Du liest den Normalenvektor einfach direkt aus der Gleichung ab. Die Gleichung
x1 - x3 = 3
kannst du auch kompliziert schreiben als
1 * x1 + 0 * x2 + (-1) * x3 = 3.
Die Koeffizienten von x1, x2 und x3 bilden einen Normalenvektor, in diesem Fall eben (1 0 -1).
Möglichkeit 2:
Du ermittelst aus der Koordinatenform eine Parameterform (wie das geht, kannst du leicht googlen). Dann kannst du die Richtungsvektoren deiner neuen Parameterform mit dem vermeintlichen Normalenvektor multiplizieren und schauen, ob 0 herauskommt.