Mathematik verschachtelte Summe?
Ich habe diese Bild über Sigma Summen beigefügt. Da ich einen Brückenkurs mache und bei mir die Schule 2 Jahrzehnte vorbei ist und ich nix mehr weiss meine Frage:
Wieso geht j in den Minusbereich also j-1. j-2 und j-3
Normaler Weise ist doch j-1 Startwert also müsste ich doch Richtung positiver Natuerlicher Zahlen gehen.
Wer kann's erklären was ich für einen Denkfehler habe. Danke
3 Antworten
Hallo,
das ist aus dem Brückenkurs von Walz, nicht wahr?
Du hast es hier mit verschachtelten Summen zu tun, bei denen Du Dich von außen nach innen vorarbeitest.
Der Index vom linken Summenzeichen geht von i=1 bis 3.
Du fängst bei i=1 an und siehst, welche Werte für j beim rechten Summenzeichen auftreten können, wenn j von -i bis i-2 geht.
Wenn i=1, dann ist der Startwert von j gleich -1, denn j fängt bei -i an.
Der Endwert ist i-2, also 1-2=-1.
Zu i=1 gehört also die Summe für j von -1 bis -1, also nur ein einziger Wert.
Wenn a irgendein Term ist, zum Beispiel i+j, dann wäre der Summenwert für i=1 1+(-1)=0
Nun setzt Du den nächsten Wert für i ein, also 2.
In diesem Fall geht j von -2 bis 2-2, also von -2 bis 0.
Diesmal hast Du drei Summanden.
Wenn a=i+j (a kann natürlich auch etwas völlig anderes sein, das ist nur ein Beispiel), dann gehören zu i=2 die Werte 2+(-2)=0; 2+(-1)=1 und 2+0=2, was einen Summenwert von 0+1+2=3 ergibt.
Nun setzt Du i=3 ein, dann läuft j von -3 bis 3-2, also bis 1.
i+j ergibt dann die Werte 3+(-3)=0; 3+(-2)=1; 3+(-1)=2; 3+0=3 und 3+1=4, was die Summe 1+2+3+4=10 ergibt.
Insgesamt kommst Du also für i=1 bis i=3 und j=-i bis 2-i auf die Summe:
0+3+10=13
Der Startwert einer Summe muß nicht unbedingt eine natürliche Zahl sein, sondern er stammt aus dem Bereich der ganzen Zahlen, kann also auch negative Werte annehmen.
Wichtig ist nur, daß der untere Startwert kleiner oder gleich wie der obere ist.
Läuft eine Summe von einem höheren zu einem niedrigeren Wert, so ist der Summenwert laut Definition gleich Null, wie es auch oben auf der Seite in Deinem Buch beschrieben ist.
Allgemein ist diese Summe, wenn wir für a keinen konkreten Term einsetzen:
a(1;-1)+a(2;-2)+a(2;-1)+a2(2;0)+a(3;-3)+a(3:-2)+a(3;-1)+a(3;0)+a(3;1), wobei Du in einem konkreten Term die erste Zahl hinter a jeweils für i, die zweite für j einsetzen und die einzelnen Summanden berechnen würdest, um sie anschließend zu einer einzigen Summe zu addieren.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich habe den Walz schon oft empfohlen, weil ich ihn für sehr geeignet halte, wieder in die Mathematik einzusteigen.
Allerdings muß ich zugeben, daß die verschachtelten Summen etwas ausführlicher hätten erklärt werden müssen, zumal sie in der Schule eher nicht behandelt werden.
Vielleicht in einer Neuauflage...
Kann man Mal privat mit Dir kommunizieren? Per Telefon oder E-Mail?
Schick mir eine Freundschaftsanfrage, dann kannst Du mir hier Nachrichten schreiben.
Ok werde ich versuchen sagt Mal gibt es irgendeine Literatur wo step by step erklärt wird mit anschaulichen Lösungsweg und was genau passiert .
?? Habe schon zig Bücher aber jedes Mal wird vorausgesetzt das schonmal gehabt zuhaben . Gibt es nix für jemanden der es lernen will wo alles bis ins Detail beschrieben wird??
Im Grunde erklärt dieses Buch schon recht ausführlich und fängt recht niedrigschwellig an. In die Summenschreibweise muß man sich ein wenig hineindenken, dann wird einem das auch mit den verschachtelten Summen klar.
Wie man mit einem einzelnen Summenzeichen umgeht, wird ja auf der Seite davor ganz gut erklärt.
Du mußt allerdings auch ein wenig Geduld haben und eine Aufgabe oder einen Sachverhalt erst einmal durchdenken. Ich bin auch seit Jahrzehnten aus der Schule und hatte einen Beruf, der mit Mathematik nicht das Geringste zu tun hatte. Ich habe meine Kenntnisse auch zunächst anhand dieses Brückenkurses aufgefrischt, um dann zu ausführlicheren Werken zu greifen wie den Bänden von Lothar Papula (Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler) oder Kusch Mathematik oder Mathematik von Tilo Arens etc. Diese Bücher allein tun es aber nicht - es gehört viel Arbeit und Zeit dazu, Aufgaben durchzurechnen, zu durchdenken, immer wieder mal auf Anfang zu gehen und die Grundlagen zu vertiefen. Das hat einige Jahre in Anspruch genommen und einen Zeitaufwand von mehreren Stunden am Tag, bis man sich Gebiete erarbeitet hat, die in der Schule nicht vorkamen oder die nur angerissen wurden.
Ich hatte zwar einen Leistungskurs in Mathematik, den ich mit einer glatten 1 abgeschlossen habe - aber von dem Schulwissen war nach Jahrzehnten nicht mehr viel hängengeblieben. Vieles mußte ich mir neu und autodidaktisch erarbeiten, was bisweilen recht mühsam war, zumal ich nicht gerade ein Einstein bin.
(Aber auch dem ist die Mathematik, die hinter seinen Gleichungen steckt, nicht zugeflogen, sondern er hat sie sich hart erarbeitet).
Mach erst einmal das, was Du nachvollziehen kannst und arbeite Dich dann weiter vor. Wenn es nicht sofort klappt, liegt das in der Natur der Sache. Rechne erst einmal ein paar einfache Summen durch, damit Du Dich an die Schreibweise gewöhnst, und mach Dich dann an die verschachtelten Summen heran.
Notiere Dir die Zwischenergebnisse.
Gib nicht auf, wenn Dir nicht sofort eine Lösung einfällt. Das wichtigste Arbeitsutensil eines Mathematikers ist bekanntlich der Papierkorb. Der Weg zum Ziel führt über Irrwege und Sackgassen.
Dazu fällt mir jetzt nur Wolfram|Alpha ( www.wolframalpha.com ) ein und dort ein "pro"-Abo. Vorteil: da kann man sich wirklich auch den kleinsten Zwischenschritt anzeigen lassen (falls die ihre Engine in dieser Beziehung nicht allzu sehr umgebaut haben, seit ich sie kennengelernt habe); Nachteile: gibt's nur auf Englisch und kostet was.
Mag nützlich sein; ersetzt aber auch nicht das eigene Denken.
Ein Zwischenschritt, auf den Du selbst gekommen bist, bringt Dich weiter als einer, der Dir vorgekaut wird.
Einen Königsweg zur Mathematik, der ohne Anstrengung und ohne das eine oder andere Frusterlebnis zum Ziel führt, gibt es nicht.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo Willy danke für deine Motivation. Welche Übungsseiten hast du benutzt oder besser gesagt Übungsaufgaben hattest du woher?
in diesem Brueckenkurs sind ja immer nur 1-2 Aufgaben drinne.
Erst wenn ich diese Buch durch habe dann kann ich mit dem Papula Arbeiten? Verstehe ich das richtig?
Und du musstest auch immer wieder zurück gehen z.b. Brüche.Binomen usw....?
Ich bin echt am verzweifeln...…
Danke für deine Hilfe.....
Meine Übungsaufgaben waren die Fragen hier auf GF.
Dadurch, daß ich anderen bei mathematischen Fragen geholfen habe, habe ich unglaublich viel gelernt, weil ich nur das erklären kann, was ich mir vorher selbst erklärt habe. Dabei haben mir Bücher wie der Brückenkurs, die Bände von Kusch und der Papula besonders geholfen.
Wichtig ist, daß Du Dein Handwerkszeug beherrschst, sprich: Das Auflösen von Gleichungen, der Umgang mit Binomen, die Beherrschung wichtiger mathematischer Gesetze wie Potenz., Wurzel- und Logarithmengesetze, Distributivgesetz (also das Faktorisieren und Ausmultiplizieren von Termen), den Umgang mit Brüchen (Hauptnenner suchen etc.), trigonometrische Zusammenhänge.
Sehr gut sind auch die Videos von Daniel Jung auf YouTube.
Den Sinus, Kosinus und Tangens machst Du Dir am besten über den Einheitskreis klar.
Der Brückenkurs ist deswegen gut, weil er die Zusammenhänge sehr verständlich erklärt. Der Papula ist auf höherem Niveau, liefert aber auch viele Erklärungen und liefert durchgerechnete Beispiele anstelle formelhafter mathematischer Sprache, die für Laien kaum verständlich ist.
Aber - wie gesagt - es dauert, bis sich das eingeschliffen hat.
Viele Übungsaufgaben zu den Grundlagen findest Du in den ersten beiden Bänden Kusch-Mathematik, in denen dieses Handwerkszeug ausführlich beschrieben wird.
Band 3 und 4 beschäftigen sich dann mit Differential- und Integralrechnung in einer Ausführlichkeit, die Du kaum irgendwo anders findest.
Aber die Beherrschung der Grundlagen, der wichtigsten Rechentechniken, ist die halbe Miete. Das ist das Fundament, auf dem Du baust.
Viele, die später an Mathe scheitern, haben kein ordentliches Fundament.
Daran solltest Du zuerst arbeiten.
i läuft von 1 bis 3 und j läuft nacheinander je von j= -i bis i-2
Setze das mal für i je ein, dann erhältst Du die aufgezählten Summanden. Ich meine das ganz richtig zu Fuß: Blatt Papier zur Hand, Stift zücken und sich das Stück für Stück erarbeiten - nicht gleich versuchen, alles im Kopf zu lösen …
Ok werde ich versuchen sagt Mal gibt es irgendeine Literatur wo step by step erklärt wird mit anschaulichen Lösungsweg und was genau passiert .
?? Habe schon zig Bücher aber jedes Mal wird vorausgesetzt das schonmal gehabt zuhaben . Gibt es nix für jemanden der es lernen will wo alles bis ins Detail beschrieben wird??
Bevor Du Dich an die verschachtelten Summen machst, lerne doch erst einmal, mit dem einzelnen Summenzeichen umzugehen.
Du hast unterhalb des Zeichens so etwas wie i=1 oder j=-3 oder k=0 stehen und oberhalb entweder eine Zahl oder einen Buchstaben wie n oder einen Term wie 2n.
Hinter dem Summenzeichen steht ein Term, im einfachsten Fall ein Buchstabe wie n oder k.
SUMME (unten k=-3, oben 2), dahinter k zum Beispiel bedeutet:
Setze für k nacheinander alle ganzen Zahlen von -3 bis 2 ein, also die Zahlen -3, -2, -1, 0, 1 und 2 und addiere die Ergebnisse.
Du rechnest also -3+(-2)+(-1)+0+1+2 und kommst so auf die Summe -3 (der Rest hebt sich auf).
Wenn anstatt k k² hinter dem Summenzeichen steht, quadreirstDu zunächst alle diese Zahlen, bevor Du sie addierst:
(-3)²+(-2)²+(-1)²+0²+1²+2²=9+4+1+0+1+4=19
Wenn als obere Grenze nur ein Buchstabe wie k oder n steht, hat die Summe unendlich viele Summanden. SUMME (n=1 bis n) über n etwa ist die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis unendlich, also 1+2+3+...+n-2+n-1+n.
Das Summenzeichen ersetzt hier also eine endlose Kette von Summanden, die aufzuschreiben das ganze Universum und das ganze Weltzeitalter nicht ausreichen würde.
Der untere Wert kann auch bei einer negativen Zahl anfangen.
Du kannst auch von -20 bis -10 summieren.
Wichtig ist nur, daß Du nur ganze Zahlen verwendest und daß sie von der Unter- bis zur Obergrenze lückenlos eingesetzt werden.
Ist die untere Zahl größer als die obere, ist die Summe definitionsgemäß einfach gleich Null - in diesem Fall kannst Du Dir eine Berechnung sparen sondern schreibst als Summe einfach Null hin.
Wenn Du nur alle geraden Zahlen von 2 bis 10 aufsummieren möchtest, bildest die die SUMME von n=1 bis 5 über 2n, denn wenn Du in den Ausdruck 2n (2*n) alle Zahlen von 1 bis 5 einsetzt, bekommst Du die Summanden 2,4,6,8 und 10 heraus, die Du anschließend zu 30 addierst.
Du mußt Dich ein wenig mit dieser Art, eine Addition aufzuschreiben, vertraut machen, dann schaffst Du auch das mit den verschachtelten Summen.
Hm. Besser wäre es m. E. Lerngruppen zu bilden und nach Selbststudium sich immer wieder in der Gruppe auszutauschen und zu helfen.
Bücher gibt es, kenne ich aber nicht, auch weil sie aufgrund unseres Austausches untereinander schnell zu trivial wurden. Suche doch mal in der Stadtbibliothek, die müssten Einsteigerliteratur haben.
Weil am Anfang j=-i steht. Das minus machts.
Versuch Dich mal an Übungsaufgabe 1;14:
SUMME (i=-1 bis i=1) SUMME (j=-2i bis j=i) über i²*j.
Wenn Du verstanden hast, wie das mit den verschachtelten Summen funktioniert, bekommst Du -2 heraus.
Wenn nicht, frag noch mal nach.