Mathe Übungsaufgabe Hilfe?
Also ich schreibe morgen eine Klausur und habe diese Aufgabe gefunden .. ich verstehe sie nicht :( könnt ihr mir helfen?
Abbau im Koffein im Blut Eistee kann einen Koffein Gehalt von 50 Milligramm pro 0,33 ; Dose haben. Bei einem Jugedliche setzt die WIrkung des Koffeins nach ca . einer Stunde ein . Der Koffein Gehalt im Blut beginnt dann expoentiell mit einer Halbwärtszeit von ca. 3Stunden ab. Eine Büchse EIstee enthält 50 Mg Koffein, a) wann sind nur noch 0,01 mg Koffein im Blut vorhanden , wenn der Abbau ca.1 Stunde nach dem Verzehr beginnt?
2 Antworten
Einfach mal zum Mitdenken. Es wird 0,33 l Eistee mit 50mg Koffein getrunken. Nennen wir das den Zeitpunkt 0. Nach 1 Stunde beginnt der Abbau, das heisst, nach 1 Stunde ist der Koffeingehalt im Blut noch die volle Dosis (50mg). "Halbwertszeit von 3 Stunden" bedeutet, dass alle 3 Stunden der Gehalt halbiert wird. Also ist nach 4 Stunden der Gehalt im Blut noch 25mg, nach 7 Stunden beträgt er 12,5mg etc.
Nun zur Berechnung - wir wollen ja nicht alle 3 Stunden halbieren und den Vorgang wiederholen, bis 0,01 mg erscheint, nicht wahr? ;)
Nehmen wir eine Formel zur Hand. Als Funktion zum Zeitpunkt t heisst das, man nimmt den Ausgangswert und multipliziert ihn mit dem Faktor der Verringerung hoch Zeit. f(t) = a * b ^ t
Dabei sei gegeben: a = Ausgangswert (a=50mg) b^t= Änderungsrate (0,5 hoch 3, weil es ja alle 3 Stunden immer halbiert wird) t= Zeit in Stunden
Zum Zeitpunkt t = 0 ist a = 50mg.
Der Einfachheit halber ignoriere ich mal, dass in der 1. Stunde nichts geschieht, das kann man am Ende hinzufügen.
Nun wissen wir: Alle 3 Stunden halbiert sich der Gehalt im Blut.
f(3) = 50 * b ^ 3 = 25
Das Lösen wir nach b auf und erhalten für b den Wert 0,793... (also die dritte Wurzel aus 0,5)
Wir wollen wissen, wann 0,01mg erreicht sind, also:
f(t) = 50 * 0,793 ^ t = 0,01
Formuliere es um und löse nach t auf. (Logarithmus ist dir ein Begriff?)
Das ergibt dann ein Ergebnis von t=36,863... Stunden. Füge die erste Stunde (siehe ganz oben) noch hinzu, in der nichts geschehen ist. Es dauert also 37 Stunden 51 Minuten und 47 Sekunden, bis der Koffeingehalt auf 0,01mg gesunken ist.
Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet. Sonst, viel Glück. ;)
Wieso für b 0,79? bei mir kommt 0,39 raus..
f(3) = 50 * b ^ 3 = 25
b^3 = 25/50 = 0,5
Das Lösen wir nach b auf und erhalten für b den Wert 0,793... (also die dritte Wurzel aus 0,5)
Mach' doch die Probe:
0,793 ^3 = ?
Oder bei deinem Ergebnis:
0,39 ^3 = ?
Es ist eigentlich ganz einfach.
a hoch x gleich b schreibe ich als a ^ x = b an. Das x bekommt man mit dem Logarithmus runter, also:
a ^ x = b
wird zu
x log a = log b
dividiere die Logarithmen einfach. Rechne /log a dann erhältst du
x = log b / log a
Dein Taschenrechner hilft dir. Im Originalbeispiel heißt das:
50 * 0,793 ^ t = 0,01 // : 50
0,793 ^ t = 0,01 / 50
0,973 ^ t = 0,002
nun den Logarithmus
t log 0,973 = log 0,002
t = log 0,002 / log 0,973
Wenn du deine Zwischenergebnisse nicht gerundet hast, erhältst du:
t = -2,698970004... dividiert durch -0,100343332...
t = 26,89735285...
Also 26 Komma irgendwas Stunden. Die eine Stunde vom Anfang dazu (die erste, in der nichts abgebaut wurde), dann hast du 27 Stunden.
Nun die Minuten. Nimm die 27 Ganzen weg und du hast 0,897352854... diese Zahl mal 60 ergibt die Minuten (=53,84117124...). Wieder die Ganzen weg (minus 53 rechnen) und die übrigen 0,84117124... mal 60 rechnen, um die Sekunden zu erhalten.
Problem?
Du stellst eine Funktion auf (die kannst du auf wikipedia finden, wenn du "Halbwertszeit" eingibst), und diese setzt du dann mit 0,01 gleich und löst nach x auf.
Perfekt danke !!:)
Aber nun habe ich noch eine Frage .. Also wir hatten Logarithismus noch nicht? Wenn das dieser Rechenweg mit LN ist dann hat unser Lehrer das kurz angeschnitten , aber nicht erklärt? wie geht das denn?