Mathe Schattenpunkt?
Hallo,
kann mir jemand die Aufgaben 3 e den zweiten Punkte erklären? Also wie hoch die Laterne sein müsste, damit der Schatten nicht auf die Wand, sondern auf den Boden fällt?
Ich habe richtig lange überlegt, aber meine Ansatz scheint falsch. Ich dachte halt, dass ixh erst einmal die Geradengleichung des Lichtstrahls aufstelle und halt die z Koordinate von L beliebig wähle, also als Parameter h. Dann z Koordinate=0 setzen und nach t auflösen. Dann t in die Geradengleichung einsetzen und dann den Punkt in die Ebenengleichung. Dann bekommen ich etwas für h raus und für alles, was ungleich h ist liegt der Punkt dann auf dem Boden, aber nicht aug der Wand.
Ich glaube, das isf falsch. Vielleicht kannes mir jemand erklären, sodass ich es mir auch vorstellen kann
Wäre wirklich dankbar
3 Antworten
Ebene BCG in Koordinatenform: E: 20y + 5*z - 140 = 0
Gerade g durch die Lichtquelle L=(5.5, 8, 1.5) und das obere Schwertende Q'=(5, 7.5, 1):
g(t) = L + t*(L-Q') = (5.5, 8, 1.5) + t*(0.5. 0.5, 0.5)
Gerade in die Ebene E einsetzen:
20*(8 + 0.5*t) + 5*(1.5 + 0.5*t) - 140 = 0
Lösung: t = -2.2
Schattenpunkt g(t) = (4.4, 6.9, 0.4)
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Die Lichtquelle auf die Höhe h verschieben L' = (5.5, 8, h)
Gerade g durch die Lichtquelle L' und das obere Schwertende Q':
g(t,h) = L' + t*(L'-Q') = (5.5, 8, h) + t*(0.5. 0.5, h-1)
Gerade in die Ebene E einsetzen:
20*(8 + 0.5*t) + 5*(h + (h-1)*t) - 140 = 0
Das ist nur eine Gleichung für zwei Unbekannte. Jedoch muss die z-Koordinate Null werden, dann gibt es keinen Schatten mehr. Also gilt zusätzlich:
h + (h-1)*t = 0
Lösung: t = -2, h = 2
Damit ergibt sich die Lichtquelle zu L' = (5.5, 8, 2)
Hallo,
das geht auch einfacher.
Wenn der Strahl der Lampe, der durch Q geht, genau auf die untere Kante der Pyramidenwand stoßen soll, dann weißt Du, daß der Schattenpunkt die y-Koordinate 7 und die z-Koordinate 0 haben muß., denn die Verbindung BC hat die y-Koordinate 7.
Da L nur in bezug auf die z-Koordinate verändert werden soll, damit der Schatten an der gewünschten Stelle auftrifft, bleiben die x- und die y-Koordinate bestehen.
Du betrachtest zunächst nur die y-Koordinaten von L und LQ.
L hat die y-Koordinate 8, Q die y-Koordinate 7,5.
Der Richtungsvektor LQ hat die y-Koordinate 7,5-8=-0,5.
Du rechnest also 8+µ*(-0,5)=7, was sofort den Wert für µ ergibt, nämlich 2.
Nun betrachtest Du die z-Koordinaten. Der Schatten muß die z-Koordinate 0 haben.
Die z-Koordinate von Q ist 1, die von L ist noch unbekannt, Du nennst sie einfach z.
Der Richtungsvektor LQ hat somit die z-Koordinate 1-z.
Es muß gelten: z+2*[1-z)=0, was sofort zu z=2 führt.
Die 2 vor dem 1-z war der Wert für µ, den wir über die y-Koordinaten ausgerechnet hatten.
Du siehst, Du brauchst gar nicht komplette Geraden gleichzusetzen, sondern nur einzelne Koordinaten zu berücksichtigen.
Schattenpunkt daher (5,5/8/2)+2*(-0,5/-0,5/-1)=(4,5|7|0).
Die -1 kommt von 1-z mit z=2, denn 1-2=-1.
Damit der Schatten auch wirklich die Wand unten an der Kante trifft, muß die x-Koordinate des Punktes zwischen 2 und 7 liegen, sonst läge der Punkt außerhalb der Unterkante. Das ist aber hier der Fall.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielleicht kannes mir jemand erklären, sodass ich es mir auch vorstellen kann
Der Lichtstrahl muss genau die Kante BC treffen. Lichtstrahl und BC sind Geraden, also müssen wir das Problem mit dem Schneiden von 2 Geraden lösen.
Dazu stellen wir zuerst die Gerade durch B und C auf und dann die Gerade durch L (5,5/8/h) und Knauf K(5/7,5/1)
Die setzen wir gleich, dann schneiden sie sich irgendwo zwischen B und C.
Für beide Geraden müssen wir unterschiedliche Parameter nehmen, z.B. r und s.
Über die x und y Komponente erhalten wir zwei Gleichungen für diese beiden unbekannten Parameter und können sie lösen. Damit können wir dann auch h bestimmen.