Mathe: Probleme bei einer Aufgabe?

Ich habe zwar einen Ansatz, weiss jedoch nicht genau was rechnerisch bei b 9 zu tun ist.

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

in der Aufgabenstellung wurde doch erklärt, wie es geht.

Das Schema der Funktion lautet f(t)=a*(1-e^(bt)).

Durch Einsetzen von f(20)=5,44 und f(40)=9,89 sollst Du a und b ermitteln.

Du bekommst durch Einsetzen von t=20 und t=40 zwei Gleichungen für zwei Parameter. Das sollte lösbar sein.

f(20)=5,44=a*(1-e^(20b))
f(40)=9, 89=a*(1-e^(40b)).

Da e^(40b)=e^(2*20b)=(e^(20b))^2, hilft der Rat mit der Substitution e^(20b)=z weiter:

5,44=a*(1-z) und 9,89=a*(1-z²).

Nach Auflösen beider Gleichungen nach a bekommst Du

a=5,44/(1-z)
a=9,89/(1-z²)

Das schreit geradezu nach dem Gleichsetzungsverfahren:

a=5,44/(1-z)=9,89/(1-z²).

Da 1z²=(1+z)*(1-z) kannst Du durch Erweitern des ersten Bruchs mit 1+z beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und a durch Gleichsetzung der Zähler ermitteln, nachdem ±1 für z aus der Lösungsmenge ausgeschlossen wurde (Division durch 0).

5,44*(1+z)=9,89 (Der Nenner verschwindet nach Multiplikation beider Seiten mit 1-z²).

5,44+5,44z=9,89

5,44z=4,45

z=4,45/5,44=0,818 (gerundet).

Da z=e^(20b), folgt e^(20b)=0,818

20b=ln(0,818)

b=ln(0,818)/20=-001 (gerundet).

Nun ist es kein Problem mehr, a zu ermitteln.

Da a=5,44/(1-z) und z etwa 0,818, folgt a~29,89, also rund 30.

Herzliche Grüße,

Willy