Mathe hilfe bitte?

6. Eine Sonnenblume ist 0,50 m groß, ihre Grenzgröße beträgt 3 m. Man geht davon aus, dass sie wöchentlich um 12% der Differenz zwischen der Grenzgröße und der aktuellen Größe wächst.

1. Nach wie viel Wochen hat die Sonnenblume eine Größe von mehr als 2 m erreicht?
2. Ab wann wächst die Sonnenblume wöchentlich um weniger als 5 cm?

Answer 1

[evtldocha]

Die Höhe der Sonnenblume wird durch eine Gleichung für beschränktes Wachstum beschrieben. Dabei ist hier:

A₀ der Anfangswert zu Zeit t=0
B die Differenz zwischen Schranke und Anfangswert und (Breite)
S die obere Schranke
p die Wachstumsrate in Prozent pro Zeiteinheit

Dann kann man die Funktion auf zweierlei Arten schreibe (Ich schreibe beide hin, rechne aber mit der e-Funktion weiter).

$\left(1\right)\ H\left(t\right)=-B\cdot\left(1+p\right)^t+S\ =-\left(3-0,5\right)\cdot\left(1,12\right)^t+3$ $\left(2\right)\ H\left(t\right)=-B\cdot e^{-kt}+S\ =\ -2,5\cdot e^{-\ln\left(1,12\right)\cdot t}+3$

Aufgabe a) Löse H(t) = 2

$-2,5\cdot e^{-\ln\left(1,12\right)\cdot t}+3\ =\ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ -3\ \ \ |\ :\ \left(-2,5\right)\ \ |\ \ln\$ $-\ \ln\left(1,12\right)\cdot t\ =\ \ln\left(\frac{1}{2,5}\right)\ \to t\ =\ \frac{\ln\left(2,5\right)}{\ln\left(1,12\right)}\ \approx8,1\$

Nach etwas mehr als 8 Wochen ist die Sonnenblume größer als 2 Meter.

Aufgabe b)

$H'\left(t\right)\ =2,5\cdot\ln\left(1,12\right)\cdot e^{-\ln\left(1,12\right)\cdot x}=0,05$

Das nach x aufzulösen, bekommst Du selbst hin (sollte 15,31 rauskommen, also ab der 16. Woche wächst die Sonnenblume weniger als 5 cm pro Woche)

Skizze: