Mathe ganzrationale funktion?
Hey, weiß jemand wie man einen funktionsterm zu a) und c) erstellt?
3 Antworten
Schau Dir markante Punkte an und überlege Dir den Grad der Funktion.
Bei a) hast Du bei x = 0 eine Nullstelle und bei x = 3 eine doppelte Nullstelle. Der Form nach zu urteilen, handelt es sich um ein Polynom 3. Grades.
Da die Nullstellen bekannt sind, helfen Linearfaktoren, um die Funktionsgleichung zu ermitteln: f(x) = a * x * (x - 3)²
Den Wert für a erhältst Du, indem Du die Koordinaten eines Punktes (z.B. P (1│2) ) einsetzt: 2 = a * 1 * (1 - 3)² Daraus folgt: a = 1 / 2. Also lautet die Funktionsgleichung: f(x) = (1 / 2) * x * (x - 3)²
Überlege Dir, wie man bei b) und c) vorgehen kann. Teste Funktionen, wenn Du unsicher bist. Letztlich musst Du eine Lösung finden.
wenn man die Nullstellen gut ablesen kann, dann würde ich immer die Produktform verwenden und einen weiteren Punkt um den Streckfaktor zu berechnen
bei b) f(x)=ax(x-2)(x+2)
alternativ kannst du wegen der Punktsymmetrie und 3. Grades den Ansatz f(x)=ax³+cx verwenden und mit zwei Punkten zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten aufstellen
bei c) muss man den Sattelpunkt beachten, das ist eine dreifache Nullstelle
insgesamt ist die Funktion 4. Grades
f(x)=a(x+2)³ (x-2) und als weiteren Punkt um a zu bestimmen z.B. (0|-2)
Also für die a)
Erstmal sieht man eine einfache Nullstelle bei x=0 und eine Doppelte bei x=3
Wenn man in (x-3) eine 3 einsetzt kommt 0 raus und da es eine doppelte ist musst du die Klammer ins Quadrat nehmen: (x-3)²
Für die x=0 Nullstelle musst du einfach ein x vor den Term außerhalb der Klammer klatschen, da wenn in dieses x die 0 einsetzt, der ganze Term auch gleich 0 wird.
Jetzt haben wir also schon: x * (x-3)²
Graphisch kann man ablesen, dass bei x=1 der Graph durch den Y-Punkt 2 geht.
Wenn du jetzt aber f(1) ausrechnest, dann kommst du bei unserer Gleichung auf 4. Deswegen musst du noch einen Koeffizienten an vorne an die Gleichung stellen. In unserem Fall ist der Koeffizient 0.5, damit der Graph nicht durch y=4, sondern y=2 verläuft.
Ergebnis: 0.5x * (x-3)²