Mathe ganzrationale Funktionen hilfe zum merksatz??
Hallo
Was bedeutet dieser Satz?
Danke🥰
2 Antworten
Vorab: hier geht es nicht um ganzrationale Funktionen, denn diese haben keine Definitionslücken! Hier geht es (hauptsächlich) um gebrochen-rationale Funktionen, d. h. das x taucht (auch) im Nenner auf. Dort, wo der Nenner Null wird, hat die Funktion eine Definitionslücke (x0).
Gehst Du nun mit dem x immer näher an diese Stelle x0 (=lim x->x0) heran, von links und von rechts, und werden dabei die Funktionswerte immer größer (->∞) oder immer kleiner (->-∞), dann spricht man von einer Polstelle. Der Grenzwert kann auch auf beiden Seiten in eine Richtung laufen (z. B. f(x)=1/x²).
Der Funktionsgraph sieht dann so aus, dass er Richtung x0 nach oben bzw. unten ins Unendliche läuft.
Das ist übrigens nicht immer der Fall. Wird nämlich neben dem Nenner an der Stelle x0 auch der Zähler Null, dann kann man in Zähler und Nenner (x-x0) ausklammern und wegkürzen und hätte eine (be-)hebbare Definitionslücke, wenn durch das Kürzen die Definitionslücke im Nenner wegfallen würde (die Funktion bleibt trotz des Kürzens weiterhin bei x0 undefiniert!!!)
Klassisches Beispiel:
f(x)=(x²-1)/(x+1)
Hier ist bei x=-1 eine Definitionslücke. Allerdings wird auch der Zähler bei x=-1 Null, und das bedeutet in diesem Fall, dass lim x->-1 nicht ±∞ ergibt. Man kann das hier umformen in (x+1)(x-1)/(x+1)=(x-1) und bekommt so als Grenzwert lim x->-1=-2 raus. D. h. hier hat man eine Funktion (eine Gerade) die Richtung x=-1 auf den y-Wert -2 zusteuert. Man nennt dann diese Stelle x0=-1 eine (be-)hebbare Definitionslücke.
Dh wenn x gegen einen bestimmten wert x0 geht also sich unendlich nähert und die funktion dabei unendlich wird dann ist es eine Polstelle.
Du kannst dir das in der Funktion so vorstellen: die Funktion geht aufs unendliche rauf in y Achse und dann kommt sie wieder runter. Das ist eine Polstelle. Die Stelle a der das oassiert ist x0 aber Nathematisch darf man das nichr sagen, weil mans nicht rechnen kann.