Mathe Figur kreis?

Ich soll bei dieser Aufgabe Umfang und Flächeninhalt der Figur in dem Quadrat berechnen nur leider weiß ch nicht wie Danke schon einmal Im Voraus

Answer 1

[Phleppse]

Das ist eine sehr spannende Aufgabe, da sie fortgeschrittenes Verständnis der Elementargeometrie vorausgesetzt.

Beginnen wir mit der Berechnung der Fläche.

Du gehst aus von einem Quadrat der Seitenlänge 2r, sodass der Flächeninhalt deines Quadrates eben

$A_Q=4r^{\ 2}$ entspricht. Deine innere kreisartige Fläche entspricht nun der Differenzfläche aus deiner Quadratfläche und vier Teilflächen, von denen zwei jeweils gleich groß sind.

Die beiden Viertelkreise lassen sich über den halben Radius r des "großen" Kreises berechnen, es handelt sich beim Zusammenlegen um einen Kreisabschnitt, der einem Halbkreis entspricht. Die Gesamtfläche dieses Halbkreises (eigentlich 2 Viertelkreise) entspricht

$A=\pi\cdot r^2\cdot\frac{1}{2}$

und das wiederum entspricht vereinfacht

$A_{HK}=\frac{\pi\cdot r^2}{8}$ Jetzt fehlen uns noch diese dreiecksartigen Flächen. Wie berechnet man diese? Nun, nehmen wir an, in dieses Quadrat sei ein Kreis mit dem Radius r einbeschrieben, dann entstehen 4 dieser Flächen aus der Differenz der Quadratfläche und der Kreisfläche. Für unsere Berechnung benötigen wir zwei dieser Flächen, also gilt

$A_{DE}=\frac{1}{2}\left(4r^2-\pi\cdot r^2\right)=2r^2-\frac{1}{2}\pi r^2$ Jetzt haben wir alles, was wir brauchen, um den Flächeninhalt der Figur zu berechnen. Wir ziehen unseren Halbkreis (HK) und den Flächeninhalt der dreiecksartigen Fläche (DE) von unserem Quadrat (Q) ab und erhalten

$A=4r^2-\frac{\pi\cdot r^2}{8}-\left(2r^2-\frac{1}{2}\pi r^2\right)=2r^2-\frac{5\pi\text{r}^2}{8}$

Nun zum Umfang. Hier haben wir einmal zwei Kreisabschnitte à 90° eines Kreises mit dem Radius r, sowie zwei Kreisabschnitte à 90° eines Kreises mit dem Radius r/2.

Für den Umfang gilt also:

$U=2\pi r\cdot\frac{1}{2}+2\pi\frac{r}{2}\cdot\frac{1}{2}=\pi\left(r+\frac{r}{2}\right)$ Hoffe, ich konnte weiterhelfen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Naturwissenschaftler mit Mathematikaffinität

Comments

[Phleppse]

Edit: Habe mich bei den beiden Viertelkreisen vertan, dabei handelt es sich auch um Kreise mit dem Radius r, dementsprechend müssen die beiden Formeln U sowie AHK und dementsprechend das zusammengesetzte in A angepasst werden (leider nicht mehr editierbar im Beitrag).

Answer 2

[berndao2]

Du hast dir doch die Viertelquadrate shcon angedeutet.
Also nutze sie!
berehcne in jedem Viertel die interessante Fläche und addiere am Ende die 4 Teilflächen :-)

Nahc meiner überwiegenden Einshcätzung kommt raus dass die Fläche die Hälfte des Gesamtquadrats sein wird.
Hat einfach damit zu tun dass man es shcön zerlegen und neu anordnen kann :-)

Answer 3

[Tannibi]

Wenn die Seitenlänge des Quadrats a ist, musst du
erst mal die beiden Viertelkreise rechts oben und
links unten abziehen, sie haben zusammen die
Fläche

f1 = pi*(a/2)²/2 (Halbkreis mit radius a/2)

Jetzt denkst du dir die Kreisbögen zu einem Kreis
ergänzt; die 4 "Ecken", die zum Quadrat übrigbeiben,
haben die Fläche

a² - pi*(a/2)²

zwei also die Fläche

f2 = (a² - pi*(a/2)²)/2

Jetzt musst du f1 und f2 von a² abziehen.

Answer 4

[Oubyi, UserMod Light]

Voraussetzung: Die Kreisbögen enden in der Mitte der jeweiligen Seite (sieht so aus, ist aber leider nicht gegeben.)
Dann sehe ich Folgendes:

Fläche:
Unterteile das Quadrat mal in die vier "Quadranten", also eine senk- und eine waagerechte Linie durch den Mittelpunkt (war anscheinend schon mal eingezeichnet).
Jetzt stell Dir vor, Du schneidest den oberen, linken Quadranten aus (und danach den unteren rechten) und schneidest da auch die Ecke ab, die nicht zu der Figur gehört.
Dann passt dieses Teil genau in die fehlende Ecke des Quadranten links unten (bzw. recht oben).
Damit hast Du dann zwei komplette Quadranten die zur Fläche der Figur gehören und zwei, die nicht zur Fläche der Figur gehören.
Und somit hat die Fläche die halbe Größe der Fläche des Quadrates.

Umfang:
Die vier Kreisbögen haben jeweils ein Viertel des Umfanges eines Kreises mit dem Radius einer halben Quadratseite. Also ist der Umfang gleich dem eines ganzen Kreises.

P.S.: Ich hoffe ich sehe das richtig, meine letzte Mathestunde ist schon -zig Jahre her.

Answer 5

[gfntom]

Sieht man sich den Umfang an, erkennt man dass es sich um 4 Viertelkreise handelt, also um einen vollständigen Kreis.

Unterteilt man das Quadrat in 4 kleinere Quadrate, so erkennt man, dass die Figur in 2 benachbarten kleinen Quadraten jeweils genau die Fläche eines kleinen Quadrats bedeckt.