Mathe e-Funktion/ Differenzfunktion. Wie lös ich das?
Hier die Aufgabe:
Max und Moritz lernen Finnisch.
Am Anfang kennen Sie nur 10 Wörter. Max lernt schnell, aber er vergisst auch wieder. Seine Lernkurve ist
a(t) = 150 – 140·e^{–0,05·t}
(t in Minuten; a(t) gelernte Vokabeln).
Moritz besitzt die Lernkurve
b(t) = 10·e^(0,05·t}
a) Wie groß ist die Lernrate (in Vokabeln/min) von Max zu Beginn? Wann hat Moritz die gleiche Lernrate erreicht?
b) Wann ist der Unterschied der beiden Lernkurven am größten?
Die a) habe ich bereits lösen können:
a(t) = 7·e^{-0,05·t}·a(0) = 7 Vokabeln/min
b'(t) = 0,5·e^{0,05·t}·b'(t) = 7 ⇒ t = 25,06 min
Bei der b) habe ich dann versucht die Differenzfunktion d(t) zu bilden:
a(t) – b(t) = d(t),
aber wie soll ich das machen, denn die Exponenten der e-Funktion sind ja nicht gleich?
1 Antwort
@helpmelps1324
es ist besser, mit t nicht die Zeit/1min, also t dimensionslos zu meinen, sondern die Zeit schon mit Maßeinheit anzugeben, sodass der Vorfaktor die umgekehrte Dimension bekommt (der Exponent muss dimensionslos sein). Dann ergibt sich bei der Ableitung automatisch die richtige Dimension, in diesem Fall 1/min.
Für die Lernkurven sollte man also korrrekterweise
(1.1) a(t) = 150 – 140·e^{(-1/20min)·t}
(1.2) b(t) = 10·e^{(1/20min)·t}
schreiben, und dann ist
(2.1) a'(t) = -140·(-1/20min)·e^{(-1/20min)·t} = 7/min·e^{(-1/20min)·t}
(2.2) b'(t) = 10·(0,05/min)·e^{(1/20min)·t} = (1/2min)·e^{(1/20min)·t}
So bekommst Du a'(0)=7/min, was Du auch herausbekommen hast.
1. Bemerkung zu a) 1.1 MaxDas a(0) in Deiner Formel kann ich nicht nachvollziehen; es ist nämlich 10, was Du glücklicherweise nicht mit eingebaut hast.
1.2. MoritzNatürlich ist Moritz Lernkurve nicht ganz realistisch, denn dann wären weder seine Finischkenntnisse noch seine Lernrate nach oben beschränkt und würde ins Unermessliche wachsen.
In Deiner Formel
b'(t) = 0,5·e^{0,05·t}·b'(t) = 7 ⇒…
ist das zweite b'(t) zu viel. Hier ist mir nicht ganz klar, ob mit
Wann hat Moritz die gleiche Lernrate erreicht?
der Zeitpunkt gesucht ist, wo Moritz' Lernrate
- die ursprüngliche von Max, also 7/min oder
- die aktuelle von Max, die deutlich niedriger liegt,
erreichen soll. Wie Du auf
1.2.1. Falls 1. gemeint ist……ist Dein Ansatz bis auf das zweite b'(t) richtig:
(3.1) b'(t₁) = (1/2min)·e^(0,05·t₁} = 7/min
Äquivalenzumformung ergibt
⇔ 14 = e^{(1/20min)·t₁}
⇔ ln(14) = (1/20min)·t₁
⇔ 20min·ln(14) = t₁.
Nun ist ln(14) ≈ 2,64, woraus sich t₁ ≈ 52,8min ergibt.
1.2.2. Falls 2. gemeint ist,…… musst Du die erste Nullstelle von
(3.2) d'(t₂) = a'(t₂)–b'(t₂) = 7/min·e^{(-1/20min)·t₂} – 1/2min·e^{(1/20min)·t₂}
bilden und gleich 0 setzen:
(3.3) 7/min·e^{(-1/20min)·t₂} = 1/2min·e^{(1/20min)·t₂}
⇔ 14 = e^{2·(1/20min)·t₂} = e^{(1/10min)·t₂}
⇔ ln(14) = (1/10min)·t₂
⇔ 10min·ln(14) = t₂,
woraus sich 26,4min ergeben. Wie Du auf 25,06min kommst, ist mir nicht klar.
2. Aufgabe b)……ist wegen des unbeschränkten Wachstums von Motritz' Lernkurve eigentlich nicht zu beantworten, es sei denn, (1.2) wäre entweder falsch oder gälte nur bis zu einem gewissen Zeitpunkt.
Der Unterschied zu Max' Gunsten dürfte bei t₂ am größten sein, da vorher b(t) langsamer wächst als a(t).
Bei der b) habe ich dann versucht die Differenzfunktion d(t) zu bilden:
a(t) – b(t) = d(t),
aber wie soll ich das machen, denn die Exponenten der e-Funktion sind ja nicht gleich?
Muss sie auch nicht. Die Differenzfunktion d(t) kannst Du so oder so bilden, selbst wenn Du sie vielleicht nicht zusammenfassen könntest. Die kannst Du nach t ableiten, was allerdings für den speziellen Zeitpunkt t₂ schon in (3.2) passiert ist.
(4.1) d(t) = 150 – 140·e^{(-1/20min)·t} – 10·e^{(1/20min)·t}
(4.2) d'(t) = 7/min·e^{(-1/20min)·t} – (1/2min)·e^{(1/20min)·t}
Mit Hilfe von t₂ lässt sich d'(t) als negativer und verschobener Sinus Hyperbolicus ausdrücken.