Mathe: Das Rosinenproblem

4 Antworten

Der Ansatz von lks72 in seiner ersten Antwort ist zwar richtig, wurde aber falsch zu Ende geführt. Die Wahrscheinlichkeit soll ja nicht 5% sondern 95% (besser wäre 'mindestens 95%') betragen. Damit erhält man die Lösung: Er muss mindestens 1855 Rosinen verwenden.

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Der Ansatz von lks72 in seiner ersten Antwort ist zwar richtig, wurde aber falsch zu Ende geführt. Die Wahrscheinlichkeit soll ja nicht 5% sondern 95% (besser wäre 'mindestens 95%') betragen. Damit erhält man die Lösung: Er muss pro Lage mindestens 1755 Rosinen hinzufügen.

Ich schlage vor, das Ergebnis noch einmal zu überdenken. Hältst du es für wahrscheinlich, dass 1700 Rosinen, die sich auf 10 Brötchen verteilen, eines der Brötchen auslassen?

Stell dir einmal 10 solche Brötchen vor - die haben im Schnitt 170 Rosinen... Die Wahrscheinlichkeit, dass eines keine enthält ist hier deutlich unter 5%.

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Bei n Rosinen und 10 Brötchen ist die Anzahl aller möglichen Verteilungen gerade (n+9) über 9.

die Anzahl aller Verteilungen, bei denen in jedem Brot mindestens eine Rosine schon ist, beträgt (n-1) über 9.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist demnach

p = ((n-1) über 9)/((n+9) über 9).

Für n=31 ergibt sich erstmals ein Wert über 5%.

Kannste das mal auf ein Urnenexperiment umwalzen?

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@moosmutzelchen

Ein Beispiel für 4 Brötchen und 8 Rosinen:

Die Schreibfigur oo|o|ooo|oo soll folgendes bedeuten: Im ersten Brötchen sind 2 Rosinen, im zweiten dann eine, im dritten sind 3 Rosinen und im vierten Brötchen sind 2 Rosinen.
||ooooo|ooo heißt: Erstes Brötchen nicht, zweites Brötchen nichts, drittes Brötchen 5 Rosinen, viertes Brötchen 3 Rosinen.

Es geht nun um alle solche Belegungen, davon gibt es aber (in diesem Beispiel) (8+3) über 3, also 11 über 3 = 165.

Wenn nun in jedem Brötchen mindestens eine Rosine sein soll, bleiben noch 4 Brötchen zu verteilen, zum Beispiel |o|oo|o. Dafür gibt es dann (4+3) über 3, also 7 über 3 = 35.

Die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Verteilung erwischt, in der mindestens 1 Rosine in jedem Brötchen ist, ist nun 35/165.

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@moosmutzelchen

Das sind eher so kleine Tricks, die man in einer Kominatorikvorlesung im Mathestudium lernt, obwohl die Idee an sich und das Rechnen selbst ja recht einfach ist.

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"die Anzahl aller Verteilungen, bei denen in jedem Brot mindestens eine Rosine schon ist, beträgt (n-1) über 9"


Das stimmt nicht. Stell dir 9 Rosinen vor: Die Anzahl der Verteilungen, bei denen in jedem Brot eine Rosine ist, betrüge dann 8 über 9, also null. 

Natürlich gibt es aber eine Verteilung: nämlich die, bei der jedes Brötchen genau eine Rosine bekommt.

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@Mahumasu

Falsch gelesen sorry, gibt natürlich 10 Brötchen, nicht 9

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