I) x+y+z=15
II) 2y=3(x+z)
III) 10y+x=5(10z+y)

Erstmal bei II) und III) die Klammern auflösen:
II) 2y=3(x+z)=3x+3z
III) 10y+x=5(10z+y)=50z+5y

Dann die Variablen wie bei I) sortieren.
II) 2y=3x+3z --> -3x+2y-3z=0
III) 10y+x=50z+5y --> x+5y-50z=0

Jetzt kannste I) und III) miteinander subtrahieren.
x+y+z=15
-(x+5y-50z=0)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-4y+51z=15

Schon ist eine Variable rausgefallen.
Das machste jetzt noch mit I) und II) nachdem du I) mit 3 multipliziert hast und anschließend das ganze mit den beiden erhaltenen Gleichungen nochmal.
Dann bleibt nur noch eine Variable übrig und kann aufwärts eingesetzt und ausgerechnet werden.

...zur Antwort