"manche unendlichkeiten sind größer als andere unendlichkeiten"? :o
also dass die unendlichkeit der nachkommazahlen zwischen 1 und 2 , eine kleiner unendlichkeit ist als z.b. die unendlichkeit der gesamten zahlen. aber ich verstehe das nicht: d.h. ja es gibt viele verschiedene unendlichkeiten, was wiederum heißt, dass man sie voneinander abtrennen muss. um unendlichkeiten voneinander trennen zu können muss man sie aber eingrenzen, und wenn man das tut sind es keine unendlichkeiten mehr. weil alles was eine grenze hat ist endlich. stimmt das obige zitat also nicht? oder ist das anders zu verstehen? freu mich über jede antwort :D
6 Antworten
Ja, es gibt unterschiedliche Arten von unendlich, sogar unendlich viele ;) Das ganze Prinzip der Eingrenzung der Unendlichkeiten besteht dadurch, dass man Mengen hat und ihre Objekte zählt, die "Anzahl" an Objekten nennt man die Kardinalität einer Menge.
Man sagt, dass zwei Mengen, nennen wir sie mal M1 und M2, die selbe Kardinalität haben, wenn man zwischen ihnen eine Bijektion herstellen kann, das bedeutet eine Funktion, die jedem Element aus M1 GENAU EIN Element aus M2 zuweist. Die Mengen {Katze, Maus} und {1,2} haben dieselbe Kardinalität, weil es die Bijektion Katze<->1, Maus<->2 gibt, die Mengen {Katze,Maus,Hund} und {1,2} sind jedoch nicht Bijektiv.
Wenn man sich unendliche Mengen anguckt, dann gibt es das selbe Prinzip. Wenn man eine Bijektion, also perfekte Zuordnung, von zwei unendlichen Mengen herstellen kann, haben beide Mengen dieselbe Kardinalität, man nennt sie "gleichmächtig". Mengen, die dieselbe "Mächtigkeit" haben wie die natürlichen Zahlen, also {0,1,2,3,....}, nennt man "abzählbar", Beispiele dafür sind die Ganzen Zahlen {.....,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} (also auch negative) mit der Bijektion 0<->0, 1<->1, 2<->-1,3<->2,4<->-2,...., die Rationalen Zahlen (das könnte dich vielleicht verwirren weil es nicht auf Anschein klar wird, such auf Wikipedia nach der "Stern-Brocott-Folge") usw.
Um zu zeigen, dass es mehrere Arten von Unendlichkeiten gibt, müssen wir eine unendliche Menge finden, die nicht "abzählbar" ist, die also nicht dieselbe Mächtigkeit besitzt wie die Menge der natürlichen Zahlen. Das zeigt man, indem man beweist, dass es keine Bijektion (perfekte Zuordnung) zwischen der gewählten Menge und der Menge der natürlichen Zahlen geben kann. Beispiele hierfür sind: Die Menge der reellen Zahlen, die Potenzmenge der Menge der natürlichen Zahlen (die Menge aller Teilmengen der Menge der natürlichen Zahlen) oder die Menge der Komplexen Zahlen.
Unendlich ist eben nicht gleich unendlich, bei Unklarheiten einfach fleißig Fragen stellen oder auf Wikipedia dich ein bisschen bilden, die jeweiligen Einträge sind ziemlich gut geschrieben.
LG
die Mengen {Katze,Maus,Hund} und {1,2} sind jedoch nicht Bijektiv.
Ist falsch formuliert, hier sollte nicht stehen, dass sie nicht bijektiv sind, sondern dass sie unterschiedliche Kardinalitäten haben, weil es keine Bijektion gibt.
LG
Unendlich ist unendlich. Da hat man gedanklich einen "Grenzübergang" gemacht. Danach gibt es weder klein noch groß. Es gibt unendlich viele Nachkommazahlen zwischen 1 und 2, und es gibt unendlich viele Zahlen.
Der Film "Wer früher stirbt ist länger tot" thematisiert das auf der Zeitschiene. Wenn die Zeit nach dem Tod unendlich lange ist, dann ist die Aussage des Filmtitels falsch, auch wenn wir Menschlein uns das nicht wirklich vorstellen können.
Auch dann stimmt der Titel. Die Zeit ist relativ und die Relation zwischen den Todeszeitpunkten bleibt unabänderlich.
Das ist einfach ein Zitat.. stell dir die "unendlichkeiten" als galaxien vor: es gibt größere und kleinere... aber es ist ja nur ein zitat :)
Die Unendlichkeit (∞) ist im Grunde keine Zahl, sondern drückt die Mächtigkeit einer Zahlenmenge aus. IN und Z und die Menge aller Primzahlen sind gleichmächtig, aber IR ist "mächtiger".
Google mal "Mächtigkeit" und "Kardinalzahlen".
Die Unendlichkeit (∞) ist im Grunde keine Zahl.
So ist es. Die Unendlichkeit (∞) ist keine Zahl. Sie ist weder Element von Z noch von R noch von NR. Das schränkt ihre Verwendung in arithmetischen Operationen erheblich ein.
Das ist ein unter Mathematiker anerkannter Irrsinn.
Ich persönlich meine, dass man gerade durch diese Aussage selber erklärt, das man vom Phänomen der Unendlichkeit keine Ahnung hat.
Diese Frage ergibt keinen Sinn. Die Unendlichkeit ist nicht quantifizierbar. Sämtliche Aussagen über die Anzahl (inkl. mehr oder weniger) bedingen aber gerade die Quantifizierbarkeit.
Das stimmt so nicht. Cantor hat eine Klassifizierung der Unendlichkeiten vollzogen und bewiesen, dass es mehr als eine gibt.
Schön er behauptet das eine, ich behaupte das andere.
Genauso wie ich der festen Überzeugung bin, dass die Summe sämtlicher natürlichen Zahlen nicht -1/12 ist.
Er beweist es, du behauptest es. Dazu sagt auch niemand, dass die Summe der natürlichen Zahlen -1/12 ergibt, sondern der Wert ihrer Ramanujan-Summation durch Zeta-Fortsetzung, dazwischen gibt es einen Unterschied (den viele natürlich ignorieren und -1/12 als ihren "Grenzwert" ansehen, das ist natürlich Schwachsinn da gebe ich dir recht).
Der Beweis enthält sicherlich keine Fehler, er kann von Oberstufenschülern nachvollzogen werden. Es kommt nur darauf an, wie du Mengen/Unendlichkeit usw. definierst. Wenn du Mächtigkeit usw. so definierst wie es eben ist, dann lässt sich eben genau zeigen, dass es mehrere, sogar unendlich viele Mächtigkeiten gibt. Es lässt sich jetzt drüber streiten wie die Definitionen aussehen aber "zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn man alle Elemente perfekt zuordnen kann" sieht für mich sinnvoll aus.
Ich sehe der Fehler darin, dass man versucht die Unendlichkeit zu quantifizieren.
Denn dann wäre die Unendlichkeit einmal X und einmal wäre die Unendlichkeit Y.
X=∞, Y=∞ Also müsste daraus auch folgen Y=X
∞+z=∞ wobei z =/= 0
den fehler begehst allein du. die mathematik quantifiziert das unendlich nicht, sondern unterscheidet in vershciedene typen.
du allerdings versuchst dem zeichen "unendlich" eine zahlenwert zuzuordnen, damit X=Y gelten könnte.
das kann man zwar machen, dann ist X=Y, egal welches unendlich es war, aber man kann dennoch TYPEN unterscheiden.
abzählbar und überabzählbar z..B.
desweiteren ist jede potenzmenge einer menge echt größer, also kann man schonmal sehr viele typen von unendlichkeiten unterscheiden.
Das was ich gemacht habe ist ein Beispiel für die Quantifizierung, dass der Inhalt davon wenig Sinn macht, versteht sich von alleine.
Solltest du die vorherigen Kommentare gelesen haben, so müsstest du wissen, dass ich nichts von der Quantifizierung der Unendlichkeit halte.
Du quantifizierst aber auch, in dem du sagst, dass eine Unendlichkeit grösser ist als eine andere. Genau dein genanntes Beispiel habe ich geschrieben.
wenn du gelesen hättest was in den kommentaren steht, im gegensatz zu mir, wüsstest du, dass du blödsinn redest.
ich habe nicht quantifiziert. ich habe KEINEN WERT verwendet, sondern typen.
so wie "rote autos", "blaue autos"... beides sind autos. wieviele autos habe ich nie gestellt.
was die mathematik zeigt:
jeder versuch einen "wert" unendlich zu quantifizieren bedeutet quasi zu sagen " es ist unbeschränkt ".
zusätzlich kann man die TYPEN von unendlich dennoch unterscheiden. das ist nunmal so. vgl. abzählbar und überabzählbar.
Rot und Blau sind Farben
Eine Menge hat einen Inhalt in einer nummerische Anzahl, also einen Wert.
du weißt also was farben sind, aber von mathematik hast du keine ahnung.
dein letzter satz macht mathematisch keinen sinn. eine menge hat "elemente" und mengenoperationen und funktionen, die auf ihr definiert sind.
beispiel: kardinalität. diese funktion bildet nich nach endliche zahlen ab. unendlich ist KEINE zahl. diese funktion hat also NICHT ausschließlich numerische werte. tust du so, als wäre unendlich dennoch ein wert, das kann man ja so definieren, dann ist jedes unendlich gleich. ABER das ist eine quantifizierung.
das ist KEINE typen-unterscheidung, welches es tatsächlich gibt. was du mit "hat einen inhalt in einer numerischen anzahl" meinst, kannkeinmensch verstehen. du weißt nichtmal was die benutzten begriffe bedeuten, dann wüsstest du, dass diese nicht zusammen passen.
in der mathematik ist alles schön sauber definiert und logisch aufgebaut. wenn dir die daraus folgenden folgerungen nicht gefallen, dann lass es sein. halte dich fern von mathematik und werde verschwörungstheoretiker.
dies ist mein letzer kommentar zu diesem thema.
Die Elemente sind der Inhalt. Und die Anzahl der Elemente ist die Mächtigkeit der Menge. Und genau das die Quantifizierung.
Ja, genau das ist richtig. Aber wenn man jetzt eine unendliche Menge hat, kann man ihrer Mächtigkeit immernoch nummerische Werte geben, die sogenannten Aleph-Kardinalzahlen. Genau diese sind die unterschiedlichen Typen von Unendlichkeit.
LG
∞+z=∞ wobei z =/= 0
Unzulässige Verwendung des + Operators .
Addition ist ein Operator der je zwei Elemente aus einem der mathematischen Zahlenkörper verknüpft und einem dritten Element aus einem der mathematischen Zahlenkörper eindeutig als Funktionsergebnis zuweist.
∞ ist nicht Element eines der Zahlenkörper, darf deshalb vor und nach dem + Operator nicht eingesetzt werden.
stimmt es dass unendlichkeiten sich dadurch auszeichen, dass es niemals mehr als eine geben kann?