Lokale Einbettung (Differenzierbare Mannigfaltigkeit)?

Hallo

Ich habe keine Ahnung, wie man auf das Ergebnis kam:

(Ich meine diese Koordinaten 0,0,-1 usw.)

Danke im voraus😀

Answer 1

[eddiefox]

Hallo,

ich gehe davon aus, dass mit der Norm || . || die euklidische Norm des ℝ² gemeint ist:

||(a,b)||² = a² + b²

(Ich schreibe den Vektor x als (a,b) anstatt (x1, x2), damit ich die Indizes nicht zu schreiben brauche)

Dann gilt

1 + ||x||² = 1 + a² + b² , d.h.

F(a,b) = [ (2a)/(1+a² + b²) , (2b)/(1+a² + b²) , (1 - (a² + b²))/(1 + a² + b²) ]

Jetzt leitest du F partiell nach a ab (Quotienrenregel!)

und setzt dann die Stelle x₀ = (1,0) in die Ableitung ein , d.h.

a = 1 , b = 0

Dann kommst du auf das Ergebnis.

Gleiche Vorgehensweise mit der partiellen Ableitung nach b.

Das Bild F(a,b) ist ein Element der im ℝ³ liegenden Sphäre S² ⊂ ℝ³ :

( S² = {(x,y,z) ∈ ℝ³ | x² + y² + z² = 1} )

Beweis:

addiere die Quadrate der drei Komponenten von F(a,b) auf.
Nach Vereinfachungen erhält man

(1 + ||x||²)² / (1 + ||x||²)² = 1

Gruß

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium

Comments

[Emanuelli490]

Mein Problem lag dann am "x"

Als mir dann einfiel, dass das eine Karte ist welche F^(-1) erzeugt.

[Emanuelli490]

Danke!

Ich habe noch 2h reingesteckt (war am Ende doch ganz einfach😅) dann kam ich auch auf die Lösung.