Logarithmus als Umkehrfunktion?

Also mein Problem ist folgendes:

Ich bin der Meinung, dass meine Mathelehrerin uns das so beigebracht hat:

f(x) = 2^x + 2

y = 2^x + 2

Und jetzt werden für die Umkehrfunktion x und y getauscht.

x = 2^y + 2 | -2

x -2 = 2^y | log

log2(x÷2) =y

Also wäre in dem Fall die Umkehrfunktion für diese Exponentialfunktion f(x) = log(x÷2)

Aber bei der Exponentialfunktion:

f(x) = 2×2^x

x = 2×2^y |÷2

x÷2 = 2^y | log

log2(x÷2) = y

... kommt genau das selbe Ergebnis heraus, obwohl die Exponentialfunktionen unterschiedliche sind. Bei der Umkehr von Defintions- und Wertebereich kommen allerdings ja unterschiedliche Graphen heraus.

In meinem Kopf sind nur noch Fragezeichen. Ich komme nicht auf meinen Denkfehler. Kann mir jemand helfen?

Answer 1

[evtldocha]

x -2 = 2^y | log

log2(x÷2) =y

Wie kommst Du auf das "geteilt durch 2"? Wenn Du den 2er Logarithmus verwendest steht da:

$x-2=2^y\ \ \ \ \ \ |\ \log_2$ $\log_2\left(x-2\right)=y$

Bin mir nicht sicher, aber Du scheinst anzunehmen, dass

$\log_2\left(x-2\right)=\log_2\left(x\right)-\log_2\left(2\right)\ =\log\left(\frac{x}{2}\right)$ sei. Die erste Identität hier ist aber falsch (die zweite Identität ist dagegen korrekt)

Comments

[Tikaani27]

Also ist die Umkehrfunktion der ersten Exponentialfunktion f(x) = log2(x-2)?

[evtldocha]

@Tikaani27

Genau das habe ich Dir vorgerechnet.

[Tikaani27]

@evtldocha

Ja, ich wollte nochmal die endgültie Bestätigung. Vielen Dank für Ihre Antwort