Logarithmen in Potenzen umschreiben?

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4 Antworten

http://dieter-online.de.tl/Logarithmus.htm

Der Umbau von Log in Pot ist auch eine Mitternachtsformel. Die muss man herbeten können, egal wann man geweckt wird.

Merker: wenn auf einer Seite log steht, steht auf der anderen Seite die Hochzahl.

log a (b) = x        <===>    a^x = b

Dein Beispiel:

x              = log 27/8 (2/3)    | Umbau in Potenz
(27/8)^x   = 2/3                    | Umrechnen in Klammer, Potenzen von 3
(3³/2³)^x  = 2/3                     | 2. und 5. Potenzgesetz
(3/2)^3x    = 2/3                   | 2/3 stürzen
(3/2)^3x    = (3/2)^(-1)         | gleiche Basen
         3x     = -1                    | /3
           x     = - 1/3

Damit hast du das Ergebnis des Logarithmus.

Dieser Exponent steht für    1/³√

Das ist ein beschwerlicher Weg.
Dafür wurde nur mit dem Logarithmus und seinen Gesetzen umgeformt.

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@Volens

Danke, so einen ähnlichen Weg habe ich gesucht, denn wir dürfen in der Klausur am Ende eventuell keinen Taschenrechner benutzen, steht noch nicht fest :).

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Erstmal musst du die Formel zum umschreiben in einen Logarithmus den der Taschenrchner beherrscht anwenden. Der kann nur den dekadischen Log., den natürlichen und den Log. Dualis. Aber hier hast du ja den zur Basis 27/8.

Der Logarithmus zur beliebigen Basis: 

Log von x zur Basis b = Zehner Log von x DURCH Zehner Log von b

Und dann einfach den Wert mit dem Taschenrechner berechnen.

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Ganz einfach:

log_27/8 (2/3) = ln(2/3)/ln(27/8) = (ln(2) - ln(3))/(ln(27) - ln(8))

Also lautet die Lösung:

 ln(2) - ln(3)
----------------
ln(27( - ln(8)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Danke! Gibt es ein allgemeines Gesetz zu dieser Rechnung?

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@Fedovic

Ja natürlich - wir befinden uns doch in der Mathematik, der Sprache der Regeln. ^^

Allgemein:

logₐ(b) = logₓ(b)/logₓ(a)

Die Basis x ist hierbei eine komplett beliebige, reelle Zahl.

Da x hierbei auch gleich e sein kann, ist dieses Verfahren auch mit dem ln möglich (ln(x) = logₑ(x)).

Und:

logₓ(a/b) = logₓ(a) - logₓ(b)

LG Willibergi

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Stimmt. Ist nämlich - 0.333333333333333

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x = - 1/3

weil 3.wurzel aus 8 = 2

und 3.wurzel aus 27 = 3

Danke! Der Weg an sich schaut ja ganz einfach aus, aber wie komme ich darauf, dass ich in diesem Fall jeweils die dritte Wurzel ziehen muss?

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@Fedovic

wenn du das nicht siehst, dann

mit Taschenrechner

log(2/3) : log(27/8) = ...........

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