LGS über endlichen Körper?
Hallo,
habt ihr gegen meinen weg etwas auszusetzen:
LGS, gegeben über |F_3={0,1,2}
a+b+2c+d=0
2a+c+d=0
2a+b+c=0
Habe als Lösungsraum L={t(-2,0,1,0), t in |F_3}
Danke!
2 Antworten
Die Lösungsmenge sieht ja wie folgt aus:
Addiert man die zweite und dritte Gleichung, erhält man 4a+b+2c+d=0. Aufgrund von 4=1 in F3 kriegt man also a+b+2c+d=0; das ist aber gerade die erste Gleichung.
Die drei Gleichungen sind also linear abhängig, d.h. eine Variable ist frei wählbar. Zudem ist eine zweite Variable frei wählbar, weil es ohnehin mehr Variablen als Gleichungen gibt.
Subtrahiert man die zweite von der dritten Gleichung, erhält man b=d. Setzt man b nun auf einen festen Wert, so hat man damit automatisch d herausgefunden. Sei also b=λ₁ (natürlich ist λ₁ ein Wert aus F_3), dann hat die Lösungsmenge schon mal die Form
Die erste Gleichung wird zu a+2*λ₁+2*c. Jetzt hat man noch zwei Variablen über und hat noch eine zur Wahl frei. Ich entscheide mich für c und setze c=λ₂. Dann ergibt sich a+2*λ₁+2*λ₂=0, woraus a=-2*λ₁-2*λ₂ folgt. Man erhält:
Deine Lösungsmenge war also eine Teilmenge der ganzen Lösungsmenge.
Perfekt
