KEINE HAUSAUFGABE: Integralrechnung: Flächen unter Funktionsgraphen - Hilfe benötigt!?
Hallo,
ich lerne gerade fürs nächste Semester und probiere mich an einer Flächenaufgabe mit 3 Unteraufgaben, wobei ich 2 schon gelöst habe, jedoch Hilfe bei der letzten gebrauchen könnte. Die Aufgabe ist wie folgt: Ein Rennwagen legt eine Strecke von 100km zurück und der Benzinverbrauch wird durch die Funktion v(x)= 1/25000 x^2 + 1/250 x + 1/10
(x= strecke in km v(x)=Verbrauchsrate in l/km) beschrieben.
a)Wie groß ist die maximale Verbrauchsrate? Dies habe ich durch eine Wertetabelle gelöst, und habe festgestellt, dass der Verbrauch bei km100 mit 0,9 am höchsten ist. Kann man dies auch durch Integration lösen?
b) Wie viel Benzin wird insgesamt verbraucht? Hierbei habe ich einfach die gesamte Fläche unterhalb des Graphen berechnet, indem ich die Funktion aufgeleitet habe und F(100)-F(0) gerechnet habe. Der Gesamtverbrauch liegt in meiner Rechnung bei 43,33 l
c) NUN ZUM PROBLEM Bestimmen sie näherungsweise, nach welcher Strecke 10 Liter verbraucht sind Ich habe versucht meine aufgeleitete Funktion mit 10 gleichzusetzen, jedoch komme ich da nicht weiter.
Ich wäre echt dankbar, wenn mir jemand helfen könnte, diese letzte Aufgabe C zu lösen, da ich sonst auch weiterhin Probleme bei weiterführenden Aufgaben haben werde. Vielen Dank und noch einen schönen Tag.
4 Antworten
Boah die Integralrechnung hab ich zuletzt in der SChule gemacht und das ist 30 Jahre her. Ich versuchs mal Ansatzweise:
Also bei a bestimmst du ja einen Hochpunkt des Graphen. Dort ist die Steigung logischerweise 0. Also die Ableitung null setzen (die Ableitung gibt die Steigung des Graphen an. Die Punktkoordinaten durch Einsetzen in f(x) bestimmen und dann mit Hilfe der 2. Ableitung oder Vorzeichenwechsel noch zeigen, ob es ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist.
Achtung vor Rechtschreibung: Ein Schüler schrieb mal: "Der Graf (!) hat an dieser Stelle eine Höhepunkt."
b) Aufleitung halte ich für den richtigen Weg
c) Auch dies halte ich für den richtigen Weg. Wo ist das Problem aufgetreten? Also f(0) brauchst du natürlich noch, denn f(0) wird nicht null sein, sondern die maximale Benzinfüllung
Gleichungen dritten Grades könnte man durch Polynomdivision lösen, falls man bei Umstellung auf null die erste Nullstelle raten kann. Raten gelingt mir aber auch nicht.
Da "näherungsweise" verlangt ist, könnte es da sein, dass du ausprobieren darfst? Mein Ausprobieren ergib eine Lösung nach irgendwas zwischen 45 und 46 km. Was mich allerdings überrascht hat....ist das Rennauto in dieser Zeit gekrochen? Hätte irgendwas in der Nähe von 25 km erwartet, wenn er doch nach 100 km etwas über40 l verbraucht hat.
Funktionsplotter und auch arndt bruners Programm zum Lösen von Polynomen ergibt keine reelle Lösung. Aus der Anschauung ist mir das allerdings nicht klar, es muss doch eigentlich irgendwann der Zeitpunkt gekommen sein, wo 10 l verbraucht sind. Und die Zahl muss reell sein und nicht komplex. Denn es handelt sich immerhin um Benzinverbrauch.
Die Lösung müsste ungefähr 45,6466 sein. Das Ausprobieren stimmt schon.
Ok, aber warum gibt es keine genaue Lösung im reellen Bereich, wenn wir doch bei Benzinverbrauch sind? Benzinverbrauch ist doch absolut reell.
vlt. ist entweder das Verfahren falsch oder die Anwendung des Verfahrens.
https://www.google.com/#q=1%2F75000+x%5E3+%2B1%2F500+x%5E2+%2B+1%2F10+x+-10
Sogar der Funktionsplotter von Google kann dies einwandfrei darstellen.
danke :) ja auf ca. 45 bin ich auch gekommen durch probieren. welche funktion benutzt ihr denn jetzt? ich finde auch keinen richtigen lösungsweg, was ja auch kein problem ist, solange ich begründen kann wieso die Aufgaben nicht lösbar ist. Habt ihr dafür Gründe oder ist sie jetzt doch reeel lösbar?
Genau diese Frage stelle ich mir auch. Mir würde höchstens einfallen, dass irgendwo im Prozess des Aufleitens/Umformens eine "GEnauigkeit" verlorengegangen ist durch irgendwas wie "nicht gültig für division durch null" oder "irgendwo ist ne Wurzel, die darf aber nicht negativ werden" oder sowas. Aber keine Ahnung an welcher Stelle das passiert sein soll.
HansVader, hast du nicht ne Idee, warum keine reelle Lösung, nur komplex, bei nem ganz reellen Problem, das auch noch zu zeichnen ist?
Wie zuvor erwähnt, entweder ist das Verfahren oder die Anwendung des Verfahrens falsch. Leider habe ich nie ein Verfahren dazu gelernt. Du kannst aber gerne dein Rechenweg posten wenn du willst, dann kann ich mir den anschauen, wenn du glaubst dass da irgendwas schief gelaufen ist.
Ich hab zur Probe den Wert von 100l bzw 43,33333 l auch in die Gleichung eingesetzt und es kommt raus was rauskommen soll. Die Rechnung müsste der Fragesteller damit richtig gemacht haben.
OK ich habe ein eine Lösungsweg und komme damit auch auf die richtige Lösung. Ich konnte damit die kubische Funktionsauflösungen umgehen. der Lösungsweg kommt gleich.
Zuerst habe ich mir die Funktion selber genauer angeschaut und festgestellt, dass eine Terrasse vorliegt. -50|-5/3
Dann habe ich eine Terassenform erstellt
f(x)=a*(x+50)^3 -5/3
Dann die Nullstelle (0/0) eingesetzt für a zu berechnen
0 = a*50^3-5/3
5/3=125000 a
a= 1/75000
f(x) =1/75000 * (x+50)^3 -5/3
Diese Funktion habe ich mit dem Rechner überprüft und entspricht unserer Ausgangsfunktion
Und wenn man diese Funktion mit 10 gleichsetzt dann kann man x mit den normalen Mitteln berechnen.
10 = 1/75000 * (x+50)^3 -5/3
(10+5/3)*75000=(x+50)^3
875000^(1/3) = x+50
875000^(1/3) -50 = x = 50*7^(1/3) -50 = 45,6466
a) kann man durch Ableiten/ Berechnung von Extrema berechnen.
c) funktioniert genau gleich wie b. Nur anstatt dass du F(100)-F(0)=y hast hast du jetzt
F(x)-F(0) = 10
Die unbekannte Variable ist jetzt einfach im Integral selber vorhanden.
Korrektur zu a.
Hier bringt die Extremwertberechnung nicht viel, da wir auf der Suche nach einem maximalen Wert sind, der Graph aber lediglich ein Minima hat. Um den maximalen Wert zwischen 0 und 100 zu berechnen hilft hier nichts anderes als beide Werte jeweils zu berechnen. Der höhere entspricht dann dem maximalen Verbrauch auf die Distanz von 100km
Deine Bisherigen Resultate stimmen.
Verfahren um die kubische Gleichung zu lösen gibt es glaube ich verschiedene, aber damit kenne ich mich nicht aus, da habe ich jeweils den Taschenrechner genutzt.
zu (a):
- Die Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabel, die in Normalform (y =ax² +bx +c) gegeben ist; der x-Wert des Scheitels (hat die Form -b /(2a) ) und liegt bei negativen x. Somit steigt v(x) für alle positiven x, der maximale Wert liegt daher bei x = 100 und beträgt
v(100) = 10/25 + 10/25 + 1/10 = (80 + 10) / 100 = 0,9
(Mittelstufen-Mathematik; weder Wertetafel noch Taschenrechner erforderlich).
- Differenzialrechnung (aber nicht Integralrechnung) ist allerdings hilfreich: Die Ableitung
v'(x) = 2/25000 x + 1/250
ist eine steigende Gerade mit positivem y-Achsenabschnitt, womit sich noch etwas einfacher begründen lässt, dass v(x) für alle positiven x steigt.
zu (c)
- 1/75000 x^3 +1/500 x^2 + 1/10 x =10; | * 75000; gesucht ist eine reelle Nullstelle von
y = x³ +150x² +7500x - 750000; für die Ableitung
y' = 3x² + 300x + 7500 = 3(x + 50)²
ist x = -50 doppelte Nullstelle und globales Minimum. Also ist x = -50 Sattelpunkt für y(x); für alle anderen x ist y(x) steigend, so dass y(x) genau eine reelle Nullstelle hat.
Das Näherungsverfahren nach Newton ergibt mit Startwert x0 = 1 im 5-ten Schritt die Näherung x = 45,645591... für diese Nullstelle.
- Hier ist allerdings Integalrechnung hilfreich: An der Darstellung von y' fällt so etwas auf, dass
∫ 3(x + 50)²dx = (x + 50)³ + C
(geht formal mit der Substitutionsregel: x + 50 = t, dx = dt), das bringt die Darstellung
y = x³ +150x² +7500x - 750000 =
(x + 50)³ - 875000;
also ist der exakte Wert der Nullstelle:
(x + 50)³ = 875000 = (900 - 25) * 10³ = (9 * 4 - 1) * 25 * 10³ = 7 * 5³ * 10³;
³√; -50; 50 ausklammern:
x = 50 (³√(7) -1)
Wahrscheinlich bin ich doof ??? (ich hoffe auf Widerspruch!)
"Ein Rennwagen legt eine Strecke von 100km zurück und der Benzinverbrauch wird durch die Funktion v(x)= 1/25000 x^2 + 1/250 x + 1/10 (x= strecke in km v(x)=Verbrauchsrate in l/km) beschrieben."
Helft mir bitte,
wieso ist denn ein spezifischer Verbrauch (l/km) von der Länge einer Strecke (km) abhängig?
Weil die Strecke den Berg hinauf geht, der Motor bei Betriebstemperatur mehr frisst, der Fahrbelag zunehmend schlechter wird,...
Logisch wäre es ja auch, dass der Verbrauch zurück geht, weil das Auto durch die Verbrennung leichter wird.
Hier geht es nicht um die tatsächliche Realität, sondern um eine vordefinierte Realität, welche sich mit einer mathematischen Funktion beschreiben lässt.
Vielen Dank! genau das habe ich bei c gemacht und bin dann auf die Gleichung gekommen: 1/75000 x^3 +1/500 x^2 + 1/10 x =10 und dies kriege ich leider nicht so richtig aufgelöst, weil mir der ansatz fehlt.