Kann mir jemand weiterhelfen? Reihenschaltung? Effektivwert der Spannung?
Eine Reihenschaltung aus drei ohmschen Widerständen ist an eine Wechselspannungsquelle Uw angeschlossen.
Welchen Wert hat jeder der äußeren gleich großen Widerstände, wenn am mittleren 3 kΩ Widerstand 20 % des Effektivwertes der Spannung Uw abfallen?
Richtig wäre 6kOhm
Diese Frage bringt mich leicht durcheinander. Kann. Würde mir jemand erklären wie man hier vorgehen müsste?
3 Antworten
Genau so wie bei Gleichstrom:
Die Reihenfolge ist ja bekanntlich egal. Wir können die beiden gleichen Widerstände also zusammenführen und schreiben R=R1+R3=2*R1
Die Spannungsteilerregel liefert jetzt R2/(R+R2) = 0.2
Umformen liefert:
R2=0.2*R+0.2*R2
0.8*R2=0.2*R
R = 0.8/0.2*R2 = 4*R2
Mit der oberen Substitution folgt 2*R1=4*R2 also
R1 = R3 = 2*R2
Ich weiß nicht woran es genau bei dir scheitert. Deshalb gehe ich zunächst auf die Begrifflichkeiten ein. Das werde ich ausführlich durchgehen. Du kannst aber natürlich auch die Ausführung überspringen. Lasse dich vor den Integralen nicht erschrecken, die werden in deinem Fall nicht Thema sein. Es geht lediglich darum wie du überhaupt auf diese Werte kommst also warum z.b. Wurzel2 ? Zum Schluss gehe ich näher auf deine Aufgabenstellung ein.
Was ist der Effektivwert einer Wechselspannung? Achtung! Ausführlich
Der Effektivwert wird auch RMS genannt was für Root mean square steht. Und das sagt eigentlich ziemlich eindeutig, was hier passiert, wir ziehen die Wurzel aus dem quadrierten Signal der Spannung. Was bedeutet das nun?
Schauen wir uns einfach mal eine Sinusförmige Wechselspannung an:
Wir sehen, die elektrische Spannung wechselt Sinusförmig periodisch ihre Polarität. Das heißt die Spannung ist über die Periode T nicht konstant und somit wird nicht konstant die gleiche Leistung umgesetzt. Das heißt die Leistung folgt dem Sinus nur mit dem Unterschied, dass die Leistung nicht negativ wird (Was jedoch für einige Spezialfälle nicht gilt, denn Voraussetzung ist, dass Strom und Spannung sich zeitgleich ändern. Also nicht gegeneinander verschoben sind, sodass Spannung und Strom stehts das gleiche Vorzeichen haben).
Wie war das aber nochmal mit der Gleichspannung? Wie berechnet man da noch gleich die Leistung? Das war doch:
P=U*I
Mit der Annahme I und U sind konstant. Nehmen wir an, der Strom ist nicht gegeben sondern nur der Widerstand. Dann gilt doch: R=U/I nach I umgeformt erhalten wir I=U/R und jetzt ersetzen wir I durch diese Gleichung und erhalten somit für die Leistung:
P=U^2/R
Wir haben also die Spannung quadriert. Bei dem Sinus haben wir es mit einer Abhängigkeit nach t zu tun also der Wert der Spannung ändert sich mit der Zeit und somit ist U und I nicht mehr konstant und damit auch P nicht konstant. Wir können uns aber die Frage stellen: "Welche Leistung wird bei einem Widerstand während einer Periode T insgesamt umgesetzt, wie bei der Gleichspannung? Oder wie groß müsste eine Gleichspannung sein, damit in der Zeit T die gleiche Leistung an einem Widerstand umgesetzt wird wie bei der Wechselspannung?"
Zunächst brauchen wir eine mathematische Möglichkeit die Spannung zu beschreiben. Wie eingangs erwähnt ist es ja eine SINUS Spannung also können wir die zeitlich periodische Änderung der Spannung mithilfe einer "trigonometrischen Funktion" bzw Sinusfunktion angeben. Wir erhalten in diesem Fall folgende Funktionsvorschrift:
U(t)=U^*sin(ω*t)
Wir könnten diese Gleichung nun für U einsetzen und könnten so die Momentan Leistung für jeden Zeitpunkt angeben:
P=(U^*sin(ω*t))^2/R
Das ist ja schonmal gut tragen wir das nun für jeden P wert ein, erhalten wir folgende Form:
Wie bekommen wir das nun hin, dass wir einen konstanten Wert daraus kreieren, der in der Periodendauer T in Summe den gleichen Wert aufweist? Naja. Wir sehen ja für eine Konstante müssten wir die "Lücken" im Prinzip "schließen" und da könnten wir ja von der Leistungskurve also der grünen Kurve ein Stück wegschneiden und mit dem Ausschnitt die Lücken zwischen den einzelnen Kurven so füllen, so dass die Leistung durchgängig Konstant ist und dann hätten wir das gleiche wie bei einer Gleichspannung. Machen wir das mal:
Für diesen Zweck müssen wir den Flächeninhalt von dieser Form berechnen was sich als schwierig erweist, da wir es hier mit keiner Form zutun haben die wir so allgemein kennen. Es ist kein Dreieck, kein Rechteck sondern eher irgendwas komisches krummes. Für diesen Fall gibt es in der Mathematik die "Integralrechnung" mithilfe eines "Integrals" sind wir in der Lage diesen Flächeninhalt zwischen Funktion und X Achse zu berechnen.
Und das machen wir 1/T mal, denn wir müssen ja nicht nur über eine Periodendauer, das währe etwas kurz, die Leistung bezieht sich ja zeitlich auf die Sekunde, also müssen wir das Integral so oft multiplizieren, bis wir eine Sekunde voll haben und der Kehrwert der Periodendauer ist ja die Frequenz. Also multiplizieren wir mit der Frequenz und Integrieren über eine Periode. Der Ausdruck sieht dann folgendermaßen aus, nicht erschrecken!
Solltest du das mit der Integralrechnung noch nicht kennen, ist das nicht schlimm es geht mir nur darum, dass du gesehen hast woher das überhaupt kommt, das was du dir für den Effektivwert merken musst ist wesentlich einfacher.
Wir haben nun folgendes gemacht. Wir haben unsere ganze Funktionsgleichung zunächst Quadriert dadurch hat sich der Sinus ins positive umgeklappt. ist ja auch klar, denn wenn wir z.b. -300V haben und wir quadieren das, dann haben wir -300V*-300V und -*- ist + also es wird automatisch positiv. Die negative Halbwelle wird so positiv. Das ist gut, denn wir können damit jetzt einfacher vorgehen und brauchen nur über eine halbe Periode zu integrieren. Wir müssen nur später wieder mit 2 multiplizieren da wir ja über eine Periodendauer den Flächeninhalt haben wollen jedoch passiert in der ersten hälfte der Periode jetzt das gleiche wie bei der zweiten Hälfte also geschenkt.
Übrigens. Diese Formel gilt für ALLE periodischen Signale, nicht nur dem Sinus. Es gibt ja auch noch z.b. Sägezahnspannungen oder Rechteckspannungen usw. Aber in diesem Fall haben wir den Sinus.
Rechnen wir das nun für den Sinus komplett durch:
Und hier sehen wir, dass wenn wir das für den Fall des Sinus durchführen der Faktor Wurzel aus 2 übrig bleibt. Bzw. der Kehrwert.
Das musst du dir merken
So lassen sich auch für andere Signale entsprechende Faktoren Herleiten Beim Dreieck hätten wir z.b. √3 und beim Rechteck ist es Ueff=U^ also hier ist der Effektivwert gleich dem Spitzen wert. Ist ja auch klar, denn die Spannung ändert sprungartig die Polarität, der Betrag bleibt aber gleich, damit wird weiterhin die gleiche Leistung verbraten.
Diese Faktoren bzw zumindest den Sinus musst du dir Merken, also den Faktor Wurzel2. Denn selbst wenn du nicht weißt, wie du den Effektivwert eines Dreiecksignals berechnest, du kannst ein Dreieck Signal mithilfe der Fourierreihe konstruieren.
Halten wir fest:
- Der Effektivwert einer Wechselspannung ist die Spannung die am gleichen Widerstand die gleiche Arbeit verrichtet wie eine Gleichspannung mit diesem Betrag.
- Für einen Sinus gilt Ueff=U^/√2
- Der Effektivwert ist das was auch mit RMS angegeben.
Zurück zu deiner Aufgabe
Den Effektivwert können wir zunächst behandeln wie eine Gleichspannung. Wir haben 3 Widerstände gegeben und 2 von denen sind gleich groß. Am mittleren fällt 20% der Nennspannung ab. Das heißt die Spannung am mittleren Widerstand beträgt bei 230V:
U(mitte)=230V*0,20=46V
230V-46V=184V
184V muss sich also auf die anderen 2 Widerstände aufteilen. Damit muss jeder von ihnen die Hälfte bekommen, da die Widerstände gleich groß sind:
U1=U2=92V
Spannungen verhalten sich wie die Widerstände. Wir Fassen die beiden gleich großen Widerstände zu einen Widerstand zusammen. Dann brauchen wir beim Widerstandswert lediglich durch 2 teilen. So können wir Das System behandeln wie einen einfachen Spannungsteiler:
U1/U2=R1/R2
R1 ist gegeben mit 3kΩ
R2=R1*U2/U1=3kΩ*184V/46V=12kΩ
Nun müssen wir diesen Wert durch 2 teilen, da die beiden Widerstände ja gleich groß sind und wir sie zusammengefasst haben und kommen dabei auf je 6kΩ
Bei der Reihenschaltung ist HIER die Anordnung erst mal egal. Du hast im selben Stromkreis 3 Widerstände:
- ein Widerstand von 3 kOhm
- 2 gleiche weitere Widerstände mit demselben unbekannten Wert R, den du nun ausrechnen sollst
Bei der Reihenschaltung fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom.
Damit ist der Spannungsfall an jedem Widerstand proportional zu dessen Widerstand.
Und mit diesem Zusatzwissen kannst du nun den Wert für "R" ausrechnen:
Die Summe aller Widerstände im Kreis ist 2*R + 3 kOhm, an dieser Reihenschaltung liegen 100% der Spannung an.
An 3 kOhm fallen 20% der Spannung ab - damit fallen an den 2 Widerständen R insgesamt die anderen 80% der Spannung ab:
Das ist die 4-fache Spannung. Jetzt weißt du, dass dazu auch der 4-fache Widerstandswert gehört.
Also ist
2*R = 4* 3 kOhm = 12 kOhm
und somit
R = 6 kOhm