Kann mir jemand beim Umstellen dieser Formeln helfen?
Hallo und guten Tag.
Ich habe leider ein kleines Problem beim umstellen von 2 Formeln mit jeweils 2 Variablen:
l1 und l2 sind konstant.
X= - l1 * cos(α) - l2 * cos(β)
Y= l1 * sin(α) + l2 * sin(β)
nun benötige ich hieraus Formeln für α und β in Abhängigkeit von X und Y.
Begonnen habe ich damit die erste Formel nach β umzustellen und bin nun hier gelandet:
β = arccos( - X/l2 - l1/l2 * cos(α))
Diese wollte ich dann in die 2. Formel einsetzen und diese nach α umstellen.
Für β wollte ich das gleiche machen.
Nun finde ich leider keine Additionstheoreme zu Arkusfunktionen und weis nicht weiter.
Gibt es in diesem Fall besondere Rechenregeln?
Bin ich überhaupt auf dem richtigen weg?
Und wenn ja, kann mir jemand weiter helfen?
Mit den besten Grüßen
Felix
1 Antwort
Ich nenne I1 = a und I2 = b.
(1) x = -a * cos(α) - b * cos(β)
(2) y = a * sin(α) + b * sin(β)
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(1) cos(α) = -(x + b * cos(β)) / a
(2) sin(α) = (y - b * sin(β)) / a
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(1) √(1 - sin²(α)) = -(x + b * cos(β)) / a
(2) sin(α) = (y - b * sin(β)) / a
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Quadrieren und nach sin²(α) umformen:
(1) sin²(α) = (a² - x² - 2 * x * b * cos(β) - b² * cos²(β)) / a²
(2) sin²(α) = (y² - 2 * b * y * sin(β) + b² * sin²(β)) / a²
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Gleichsetzen:
a² - x² - 2 * x * b * cos(β) - b² * cos²(β) = y² - 2 * b * y * sin(β) + b² * sin²(β)
a² - x² - 2 * x * b * cos(β) - b² * cos²(β) = y² - 2 * b * y * sin(β) + b² * (1 - cos²(β))
y² + x² + b² - a² = 2 * b * y * sin(β) - 2 * b * x * cos(β)
(y² + x² + b² - a²) / (2 * b) = - x * cos(β) + y * sin(β)
Die rechte Seite lässt sich umformen:
A_1 * cos(β) - A_2 * sin(β) = A * cos(β + δ)
A_1 = -x ; A_2 =y ; A = √(A_1² + A_2²) ; cos(δ) = A_1 / A ; sin(δ) = -A_2 / A
Das führt zu:
(y² + x² + b² - a²) / (2 * b) = √(y² + x²) * cos(β + arctan(y / x))
β = arccos((y² + x² + b² - a²) / ((2 * b) * √(y² + x²))) - arctan(y / x)
Die Formel wird durch Proberechnung bestätigt mit
a = 2 ; b = 3 ; α = π / 4 ; β = π / 3 ; x = (1 / 2) * (-3 - 2 * √2) ; y = (1 / 2) * √(35 + 12 * √6)
Die Umformung für α sollte ähnlich verlaufen.