kann man den Suchverlauf auf dem Gastzugang sehen?

Nein, Stichwort Ende-zu-Ende-Verschlüsselung. Den Suchverlauf sieht man nur auf Deinem Gerät selbst, aber nicht auf dem Übertragungsweg.

Nö, es sei denn, du schaltest einen Sniffer dazwischen oder sniffst den ganzen Traffic mit.

Nein. Dafür ist er ja da.